Matematik
lidt hjælp søges!(MATH)!
26. november 2005 af
Liv2004 (Slettet)
Hej!
Jeg vil lige spørge om der ikke er nogen som kunne tage et lille kig på disse opgaver. Jeg ved godt at der er mange men langt størstedelen af dem er færdige der er bare et par steder hvor jeg er lidt i tvivl.
Håber at der er nogen som er villige til at hjælpe.
Opgave 1)
I et koordinatsystem i rummet er givet tre planer med ligningerne
x+y+z=6
2x-y-z=1
x+y-2z=3
Gør rede for at de tre planer har netop et punkt fælles og bestem koordinatsættet til dette punkt.
Løsning:
Punktet få jeg til at være (x,y,z)=(7/3 ; 8/3; 1)
Men hvordan kan jeg gøre rede for at der kun er et fællespunkt?
-------------------------------------
Opgave 2)
Fem punkter er givet ved:
L(0,0,3)
A(4,2,2)
B(0,3,2)
C(0,3,0)
D(4,2,0)
Figuren viser hvorledes en mur kaster skygge i lyset fra en gadelampe.
Situationen er indtegnet i et koordinatsystem. Rektanglet ABCD er muren firkanten PQCD er skyggen og L er gadelampen.
Bestem en ligning for den plan alfa der indeholder punkterne A,B og L.
Bestem en parameterfremstilling for den linie hvori planen alfa skærer den plan der indeholder koordinatsystemets første- og andenakse.
Beregn længden af liniestykket PQ.
Løsning.
Alfas ligning:
x+4y+12z-36=0
De to andre kan jeg ikke helt finde ud af.
-------------------------------------
Opgave 3)
Ovenfor er tegnet en såkaldt overlevelseskurve. Kurven er graf for funktionen L(x), der bruges som model for den forventede procentdel overlevende ved alderen x år af en oprindelig gruppe på 100 % ved alderen 1 år. Af grafen ses for eksempel at ved alderen 65 år forventes det at 75 % stadig er i live ; altså 25 % er døde.
Funktionen er givet ved en forskrift af formen.
L(x)= 100 * e^(A*(1-x)-0,000867*(1,0914^(x) – 1,0914))
I det følgende sættes A=0,0005
a) Hvor stor en procentdel er i live ved alderen 80 år
b) Løs ligningen L(x)=50 og fortolk resultatet
Skitser grafen for L i hvert af de tre tilfælde der svarer til at A=0,01, A=0,005 og A=0,0005.
Kommenter ud fra grafen hvilken betydning A har.
Løsning.
a) Ved alderen 80 år er der 37,2 % som er i live.
b) L(x)=50 <=> x=75,8 år
dvs. at efter 75,8 år er halvdelen død.
Når der er gået 75,8 år så er der 50 % overlevende.
Har tegnet/skitseret grafen.
Jo støre A jo hurtigere falder overlevelseskurven/overlevelsesprocenten.
Det er mest det med hvad man skal skrive jeg er i tvivl om. F.eks. er det som står i a og b ok og er kommentaren til A i orden.
-------------------------------------
Opgave 4)
En funktion er bestemt ved:
f(x)=(x-3) / (x^2 -6x+8)
Bestem definitionsmængden, nulpunkter og fortegn for f:
nulpunkter:
f(x)=0 <=> x=3
fortegn:
f(x) > 0 <=> 2 < x < 3 v 4< x
f(x)< 0 <=> 2 < x v 3 < x < 4
Så har jeg også tegnet grafen for f og f `
f er voksende i intervallet ]2;3] og i ] 4; inf[
f er aftagende i intervallet ]-inf ; 2 [ og i [3 ; 4[
Man behøver ikke at differentiere f for at finde fortegn vel.
Definitionsmængde:
er det så nok at skrive at
Dm(f)= R\\{2,4}
da 2 og 4 ikke er defineret i funktionen.
-------------------------------------
Opgave 5)
Med O(x) betegnes de samlede omkostninger angivet i mio. kr. ved produktion af x enheder af en vare.
Funktionen O er givet ved.
O(x)= 0,2 x +100 + 30 * sin(0,006x) , xE[0;1000]
Vis ved at benytte O`(x) at O(x) er en voksende funktion af x.
Hver produceret enhed sælges for 0,35 mio. kr.. Fortjenesten F som funktion af antallet x af producerede enheder er derfor bestemt ved.
F(x)=0,35x-O(x)
Vis ved at benytte F`(x) at fortjenesten har en størsteværdi og bestem denne.
Løsning:
O`(x)= 0,2 + 0,18 * cos(0,006x)
Så ved jeg ikke hvordan jeg kan vise at den er voksende.
Skal man måske bare tegne grafen!
Differentiering af F.
F`(x) = 0,15 – 0,18 * cos(0,006x)
Så ved jeg ikke hvordan jeg kan vise at fortjenesten har en størsteværdi.
Jeg har fundet den.
x=949,58
f(949,58)=59,02 mio. kr.
MVH
Liv Rasmusen.
Jeg vil lige spørge om der ikke er nogen som kunne tage et lille kig på disse opgaver. Jeg ved godt at der er mange men langt størstedelen af dem er færdige der er bare et par steder hvor jeg er lidt i tvivl.
Håber at der er nogen som er villige til at hjælpe.
Opgave 1)
I et koordinatsystem i rummet er givet tre planer med ligningerne
x+y+z=6
2x-y-z=1
x+y-2z=3
Gør rede for at de tre planer har netop et punkt fælles og bestem koordinatsættet til dette punkt.
Løsning:
Punktet få jeg til at være (x,y,z)=(7/3 ; 8/3; 1)
Men hvordan kan jeg gøre rede for at der kun er et fællespunkt?
-------------------------------------
Opgave 2)
Fem punkter er givet ved:
L(0,0,3)
A(4,2,2)
B(0,3,2)
C(0,3,0)
D(4,2,0)
Figuren viser hvorledes en mur kaster skygge i lyset fra en gadelampe.
Situationen er indtegnet i et koordinatsystem. Rektanglet ABCD er muren firkanten PQCD er skyggen og L er gadelampen.
Bestem en ligning for den plan alfa der indeholder punkterne A,B og L.
Bestem en parameterfremstilling for den linie hvori planen alfa skærer den plan der indeholder koordinatsystemets første- og andenakse.
Beregn længden af liniestykket PQ.
Løsning.
Alfas ligning:
x+4y+12z-36=0
De to andre kan jeg ikke helt finde ud af.
-------------------------------------
Opgave 3)
Ovenfor er tegnet en såkaldt overlevelseskurve. Kurven er graf for funktionen L(x), der bruges som model for den forventede procentdel overlevende ved alderen x år af en oprindelig gruppe på 100 % ved alderen 1 år. Af grafen ses for eksempel at ved alderen 65 år forventes det at 75 % stadig er i live ; altså 25 % er døde.
Funktionen er givet ved en forskrift af formen.
L(x)= 100 * e^(A*(1-x)-0,000867*(1,0914^(x) – 1,0914))
I det følgende sættes A=0,0005
a) Hvor stor en procentdel er i live ved alderen 80 år
b) Løs ligningen L(x)=50 og fortolk resultatet
Skitser grafen for L i hvert af de tre tilfælde der svarer til at A=0,01, A=0,005 og A=0,0005.
Kommenter ud fra grafen hvilken betydning A har.
Løsning.
a) Ved alderen 80 år er der 37,2 % som er i live.
b) L(x)=50 <=> x=75,8 år
dvs. at efter 75,8 år er halvdelen død.
Når der er gået 75,8 år så er der 50 % overlevende.
Har tegnet/skitseret grafen.
Jo støre A jo hurtigere falder overlevelseskurven/overlevelsesprocenten.
Det er mest det med hvad man skal skrive jeg er i tvivl om. F.eks. er det som står i a og b ok og er kommentaren til A i orden.
-------------------------------------
Opgave 4)
En funktion er bestemt ved:
f(x)=(x-3) / (x^2 -6x+8)
Bestem definitionsmængden, nulpunkter og fortegn for f:
nulpunkter:
f(x)=0 <=> x=3
fortegn:
f(x) > 0 <=> 2 < x < 3 v 4< x
f(x)< 0 <=> 2 < x v 3 < x < 4
Så har jeg også tegnet grafen for f og f `
f er voksende i intervallet ]2;3] og i ] 4; inf[
f er aftagende i intervallet ]-inf ; 2 [ og i [3 ; 4[
Man behøver ikke at differentiere f for at finde fortegn vel.
Definitionsmængde:
er det så nok at skrive at
Dm(f)= R\\{2,4}
da 2 og 4 ikke er defineret i funktionen.
-------------------------------------
Opgave 5)
Med O(x) betegnes de samlede omkostninger angivet i mio. kr. ved produktion af x enheder af en vare.
Funktionen O er givet ved.
O(x)= 0,2 x +100 + 30 * sin(0,006x) , xE[0;1000]
Vis ved at benytte O`(x) at O(x) er en voksende funktion af x.
Hver produceret enhed sælges for 0,35 mio. kr.. Fortjenesten F som funktion af antallet x af producerede enheder er derfor bestemt ved.
F(x)=0,35x-O(x)
Vis ved at benytte F`(x) at fortjenesten har en størsteværdi og bestem denne.
Løsning:
O`(x)= 0,2 + 0,18 * cos(0,006x)
Så ved jeg ikke hvordan jeg kan vise at den er voksende.
Skal man måske bare tegne grafen!
Differentiering af F.
F`(x) = 0,15 – 0,18 * cos(0,006x)
Så ved jeg ikke hvordan jeg kan vise at fortjenesten har en størsteværdi.
Jeg har fundet den.
x=949,58
f(949,58)=59,02 mio. kr.
MVH
Liv Rasmusen.
Svar #1
26. november 2005 af Epsilon (Slettet)
ad 1)
Det er korrekt, at det søgte punkt er (7/3,8/3,1).
Lad os indføre betegnelserne
alfa: x + y + z = 6
beta: 2x - y - z = 1
gamma: x + y - 2z = 3.
Bestemmelsen af punktet kan passende integreres i redegørelsesdelen. Man kan bemærke, at normalvektorerne
n_alfa = [1,1,1] og n_beta = [2,-1,-1]
ej er parallelle; dermed vil alfa og beta skære hinanden i en rumlinje (m), og krydsproduktet
(n_alfa)x(n_beta)
er så en retningsvektor for m. Find et punkt indeholdt i begge planer (sæt fx z = 0 og løs for x og y) og opskriv en parameterfremstilling for m.
Dernæst eftervises, at m skærer gamma i præcis ét punkt (7/3,8/3,1); altså har planerne netop dette punkt fælles.
En kortere redegørelse kunne være at bemærke, at
(n_alfa)*(n_beta) = 0.
Altså er alfa og beta ortogonale (og skærer hinanden i en rumlinje). Normalvektoren
n_gamma = [1,1,-2]
er hverken parallel med n_alfa eller n_beta, så gamma er hverken parallel med alfa eller beta. Overvej, at dette udelukker, at planerne ikke har noget punkt fælles eller, at to af planerne er sammenfaldende (så planerne skærer hinanden i en rumlinje). Altså må planerne have netop ét punkt fælles.
ad 2)
Kan vi eventuelt vende tilbage til. Men giv den lige en chance mere og se, om ikke det lykkes dig at løse den.
ad 3)
a)
Jeg får 37,3%; afvigelsen skyldes antageligvis præcisionsforskel grafregnerne imellem.
b)
Resultatet x = 75,8 (år) må kunne fortolkes som middellevealderen (gennemsnitsalderen) ifølge den foreliggende model.
Kommentaren til A må være tilstrækkelig i betragtning af det grundlag (tre grafer) ud fra hvilket, man skal ræsonnere.
ad 4)
Det er korrekt, men hvorfor angiver du monotoniforholdene for f? Det står der intet om i dit indlæg.
"Man behøver ikke at differentiere f for at finde fortegn vel."
Nej, den afledede funktion, f', rummer ingen information om fortegn for f. Bemærk til gengæld, at
f(x) = (x-3)/((x-2)(x-4))
Man kan således ræsonnere direkte ud fra forskriften, og herved fås, at
f < 0 <=> x E (]-infty;2[ U ]3;4[)
f > 0 <=> x E (]2;3[ U ]4;infty[)
Kontrollér selv, at det er korrekt.
"Definitionsmængde:
er det så nok at skrive at
Dm(f)= R\\{2,4}
da 2 og 4 ikke er defineret i funktionen."
Ja, forudsat det er eftervist, at 2 og 4 er rødder i nævneren; da nævneren er et polynomium af anden grad, er der ikke flere rødder.
ad 5)
Det er utilstrækkeligt at tegne grafen. Men du kan benytte, hvad du (forhåbentlig) ved om billedmængden (værdimængden) for cosinus (jf. enhedscirklen), til at vise, at O er voksende.
"Så ved jeg ikke hvordan jeg kan vise at fortjenesten har en størsteværdi."
Bestem fortegn og nulpunkter for F' og ræsonnér derudfra; F' er jo kontinuert.
Størsteværdien er rigtignok ca. 59,02 (mio. kr.).
//Epsilon
Det er korrekt, at det søgte punkt er (7/3,8/3,1).
Lad os indføre betegnelserne
alfa: x + y + z = 6
beta: 2x - y - z = 1
gamma: x + y - 2z = 3.
Bestemmelsen af punktet kan passende integreres i redegørelsesdelen. Man kan bemærke, at normalvektorerne
n_alfa = [1,1,1] og n_beta = [2,-1,-1]
ej er parallelle; dermed vil alfa og beta skære hinanden i en rumlinje (m), og krydsproduktet
(n_alfa)x(n_beta)
er så en retningsvektor for m. Find et punkt indeholdt i begge planer (sæt fx z = 0 og løs for x og y) og opskriv en parameterfremstilling for m.
Dernæst eftervises, at m skærer gamma i præcis ét punkt (7/3,8/3,1); altså har planerne netop dette punkt fælles.
En kortere redegørelse kunne være at bemærke, at
(n_alfa)*(n_beta) = 0.
Altså er alfa og beta ortogonale (og skærer hinanden i en rumlinje). Normalvektoren
n_gamma = [1,1,-2]
er hverken parallel med n_alfa eller n_beta, så gamma er hverken parallel med alfa eller beta. Overvej, at dette udelukker, at planerne ikke har noget punkt fælles eller, at to af planerne er sammenfaldende (så planerne skærer hinanden i en rumlinje). Altså må planerne have netop ét punkt fælles.
ad 2)
Kan vi eventuelt vende tilbage til. Men giv den lige en chance mere og se, om ikke det lykkes dig at løse den.
ad 3)
a)
Jeg får 37,3%; afvigelsen skyldes antageligvis præcisionsforskel grafregnerne imellem.
b)
Resultatet x = 75,8 (år) må kunne fortolkes som middellevealderen (gennemsnitsalderen) ifølge den foreliggende model.
Kommentaren til A må være tilstrækkelig i betragtning af det grundlag (tre grafer) ud fra hvilket, man skal ræsonnere.
ad 4)
Det er korrekt, men hvorfor angiver du monotoniforholdene for f? Det står der intet om i dit indlæg.
"Man behøver ikke at differentiere f for at finde fortegn vel."
Nej, den afledede funktion, f', rummer ingen information om fortegn for f. Bemærk til gengæld, at
f(x) = (x-3)/((x-2)(x-4))
Man kan således ræsonnere direkte ud fra forskriften, og herved fås, at
f < 0 <=> x E (]-infty;2[ U ]3;4[)
f > 0 <=> x E (]2;3[ U ]4;infty[)
Kontrollér selv, at det er korrekt.
"Definitionsmængde:
er det så nok at skrive at
Dm(f)= R\\{2,4}
da 2 og 4 ikke er defineret i funktionen."
Ja, forudsat det er eftervist, at 2 og 4 er rødder i nævneren; da nævneren er et polynomium af anden grad, er der ikke flere rødder.
ad 5)
Det er utilstrækkeligt at tegne grafen. Men du kan benytte, hvad du (forhåbentlig) ved om billedmængden (værdimængden) for cosinus (jf. enhedscirklen), til at vise, at O er voksende.
"Så ved jeg ikke hvordan jeg kan vise at fortjenesten har en størsteværdi."
Bestem fortegn og nulpunkter for F' og ræsonnér derudfra; F' er jo kontinuert.
Størsteværdien er rigtignok ca. 59,02 (mio. kr.).
//Epsilon
Svar #2
26. november 2005 af Epsilon (Slettet)
#1:
ad 1)
Den kortere redegørelse er ikke helt korrekt. Argumentet er i stedet, at
(n_alfa)*(n_beta) = 0.
(n_alfa)*(n_gamma) = 0.
Heraf ses, at alfa og beta hhv. alfa og gamma er parvis ortogonale, så alfa og beta hhv. alfa og gamma skærer hinanden i en rumlinje, som specielt ligger i alfa. Da endvidere n_beta ej er parallel med n_gamma, er beta og gamma ej parallelle; det samme gælder da om de to rumlinjer, som derfor må skære hinanden i ét punkt.
Altså har planerne netop ét punkt fælles.
//Epsilon
ad 1)
Den kortere redegørelse er ikke helt korrekt. Argumentet er i stedet, at
(n_alfa)*(n_beta) = 0.
(n_alfa)*(n_gamma) = 0.
Heraf ses, at alfa og beta hhv. alfa og gamma er parvis ortogonale, så alfa og beta hhv. alfa og gamma skærer hinanden i en rumlinje, som specielt ligger i alfa. Da endvidere n_beta ej er parallel med n_gamma, er beta og gamma ej parallelle; det samme gælder da om de to rumlinjer, som derfor må skære hinanden i ét punkt.
Altså har planerne netop ét punkt fælles.
//Epsilon
Svar #3
26. november 2005 af Liv2004 (Slettet)
Ok! Nu har jeg prøvet at samle løsningerne så det er lidt overskueligt.
opgave 1)
(n_alfa)*(n_beta) = 0.
(n_alfa)*(n_gamma) = 0.
Heraf ses, at alfa og beta henholdsvis alfa og gamma er parvis ortogonale, så alfa og beta henholdsvis alfa og gamma skærer hinanden i en rumlinje, som specielt ligger i alfa. Da endvidere n_beta ej er parallel med n_gamma, er beta og gamma ej parallelle; det samme gælder da om de to rumlinjer, som derfor må skære hinanden i ét punkt.
Altså har planerne netop ét punkt fælles.
Skærningspunktet er (x,y,z)=(7/3 ; 8/3; 1)
Opgave 3)
a) Ved alderen 80 år er der 37,2 % som er i live.
b) L(x)=50 <=> x=75,8 år
Ifølge modellen kan man fortolke denne her resultat som gennemsnitsalderen.
Har tegnet/skitseret grafen.
Jo støre A jo hurtigere falder overlevelseskurven/overlevelsesprocenten.
Opgave 4)
nulpunkter:
f(x)=0 <=> x=3
fortegn:
f(x) > 0 <=> 2 < x < 3 v 4< x
f(x)< 0 <=> 2 < x v 3 < x < 4
her af kan vi så se at:
f < 0 <=> x E (]-infty;2[ og i ]3;4[)
f > 0 <=> x E (]2;3[ og i ]4;infty[)
Definitionsmængde
Eftersom 2 og 4 er rødder i nævneren kan vi konstatere at definitionsmængde for f må være
Dm(f)= R\\{2,4}
Opgave 5)
Vi ved at cos(0,006x) E[-1;1]. dermed vil O`(x) altid være positiv, og dermed vil O(x) være voksende for alle xE[0;1000]
vises at F har en størsteværdi.
nulpunkter:
x_1 = 97,61
x_2 = 949,58
F`(80) = -
F`(500) = +
F`(1000) = -
Så har jeg tegnet fortegnsveriationen:
og ud fra den kan vi se at størsteværdien må ligge ved 949,58
F(949,58)=59,02 mio. kr.
Opgave 2)
ved ikke hvordan jeg kan finde den plan der indeholder koordinatsystemets første- og andenakse.
opgave 1)
(n_alfa)*(n_beta) = 0.
(n_alfa)*(n_gamma) = 0.
Heraf ses, at alfa og beta henholdsvis alfa og gamma er parvis ortogonale, så alfa og beta henholdsvis alfa og gamma skærer hinanden i en rumlinje, som specielt ligger i alfa. Da endvidere n_beta ej er parallel med n_gamma, er beta og gamma ej parallelle; det samme gælder da om de to rumlinjer, som derfor må skære hinanden i ét punkt.
Altså har planerne netop ét punkt fælles.
Skærningspunktet er (x,y,z)=(7/3 ; 8/3; 1)
Opgave 3)
a) Ved alderen 80 år er der 37,2 % som er i live.
b) L(x)=50 <=> x=75,8 år
Ifølge modellen kan man fortolke denne her resultat som gennemsnitsalderen.
Har tegnet/skitseret grafen.
Jo støre A jo hurtigere falder overlevelseskurven/overlevelsesprocenten.
Opgave 4)
nulpunkter:
f(x)=0 <=> x=3
fortegn:
f(x) > 0 <=> 2 < x < 3 v 4< x
f(x)< 0 <=> 2 < x v 3 < x < 4
her af kan vi så se at:
f < 0 <=> x E (]-infty;2[ og i ]3;4[)
f > 0 <=> x E (]2;3[ og i ]4;infty[)
Definitionsmængde
Eftersom 2 og 4 er rødder i nævneren kan vi konstatere at definitionsmængde for f må være
Dm(f)= R\\{2,4}
Opgave 5)
Vi ved at cos(0,006x) E[-1;1]. dermed vil O`(x) altid være positiv, og dermed vil O(x) være voksende for alle xE[0;1000]
vises at F har en størsteværdi.
nulpunkter:
x_1 = 97,61
x_2 = 949,58
F`(80) = -
F`(500) = +
F`(1000) = -
Så har jeg tegnet fortegnsveriationen:
og ud fra den kan vi se at størsteværdien må ligge ved 949,58
F(949,58)=59,02 mio. kr.
Opgave 2)
ved ikke hvordan jeg kan finde den plan der indeholder koordinatsystemets første- og andenakse.
Svar #4
26. november 2005 af Epsilon (Slettet)
#3:
Opgave 1 er vi enige om, såfremt du selv har skrevet en argumentation for, at skæringspunktet er (7/3,8/3,1). Det er klart, at den kortere redegørelse foreslået i #2 alene er et argument for, at planerne har netop ét punkt fælles. Argumentet siger intet om hvilket punkt eller, hvordan man bestemmer det.
Opgave 3 er vi enige om.
ad 4)
Tjo, der er nu ingen grund til at skrive det samme to gange:
"fortegn:
f(x) > 0 <=> 2 < x < 3 v 4< x
f(x)< 0 <=> 2 < x v 3 < x < 4
her af kan vi så se at:
f < 0 <=> x E (]-infty;2[ og i ]3;4[)
f > 0 <=> x E (]2;3[ og i ]4;infty[)"
Pointen i #1 er blot at få dig til at indse, at den fortegnsvariation, som jeg opskrev, er i overensstemmelse med, hvad du selv er nået frem til.
ad 5)
Korrekt.
ad 2)
Den foreslåede ligning for alfa er korrekt.
"ved ikke hvordan jeg kan finde den plan der indeholder koordinatsystemets første- og andenakse."
Den plan betegnes nærmere bestemt som xy-planen og indeholder alle punkter af form (x,y,0), dvs. z = 0. En ligning for alfa var
x + 4y + 12z = 36
Til en parameterfremstilling for skæringslinjen mellem alfa og xy-planen kræves blot to punkter, og vil man gøre det særdeles bekvemmeligt for sig selv, finder man naturligvis alfas skæringspunkt med x-aksen (y,z = 0) hhv. y-aksen (x,z = 0), som jo ligger i xy-planen.
Det sidste spørgsmål har jeg selvsagt ingen mulighed for at kommentere. Der står intet om P og Q i de foregående indlæg ud over, at PQCD er den skygge, som muren kaster.
//Epsilon
Opgave 1 er vi enige om, såfremt du selv har skrevet en argumentation for, at skæringspunktet er (7/3,8/3,1). Det er klart, at den kortere redegørelse foreslået i #2 alene er et argument for, at planerne har netop ét punkt fælles. Argumentet siger intet om hvilket punkt eller, hvordan man bestemmer det.
Opgave 3 er vi enige om.
ad 4)
Tjo, der er nu ingen grund til at skrive det samme to gange:
"fortegn:
f(x) > 0 <=> 2 < x < 3 v 4< x
f(x)< 0 <=> 2 < x v 3 < x < 4
her af kan vi så se at:
f < 0 <=> x E (]-infty;2[ og i ]3;4[)
f > 0 <=> x E (]2;3[ og i ]4;infty[)"
Pointen i #1 er blot at få dig til at indse, at den fortegnsvariation, som jeg opskrev, er i overensstemmelse med, hvad du selv er nået frem til.
ad 5)
Korrekt.
ad 2)
Den foreslåede ligning for alfa er korrekt.
"ved ikke hvordan jeg kan finde den plan der indeholder koordinatsystemets første- og andenakse."
Den plan betegnes nærmere bestemt som xy-planen og indeholder alle punkter af form (x,y,0), dvs. z = 0. En ligning for alfa var
x + 4y + 12z = 36
Til en parameterfremstilling for skæringslinjen mellem alfa og xy-planen kræves blot to punkter, og vil man gøre det særdeles bekvemmeligt for sig selv, finder man naturligvis alfas skæringspunkt med x-aksen (y,z = 0) hhv. y-aksen (x,z = 0), som jo ligger i xy-planen.
Det sidste spørgsmål har jeg selvsagt ingen mulighed for at kommentere. Der står intet om P og Q i de foregående indlæg ud over, at PQCD er den skygge, som muren kaster.
//Epsilon
Svar #5
27. november 2005 af Liv2004 (Slettet)
Ok man skal bare skrive det her til opgave 4.
fortegn:
f(x) > 0 <=> 2 < x < 3 v 4< x
f(x)< 0 <=> 2 < x v 3 < x < 4
Opgave 2 er jeg lige i gang med at lave!
fortegn:
f(x) > 0 <=> 2 < x < 3 v 4< x
f(x)< 0 <=> 2 < x v 3 < x < 4
Opgave 2 er jeg lige i gang med at lave!
Svar #6
27. november 2005 af Liv2004 (Slettet)
opgave 1)
”Da endvidere n_beta ej er parallel med n_gamma, er beta og gamma ej parallelle”
man viser at de ikke er parallelle ved at finde deres krydsprodukt ikke. Hvis den giver o vektoren så er de parallelle.
opgave 2)
så har jeg fundet x og y og z:
x=36 , y=9, og z=0
(x,y,z)=(36,9,0)+t*(retningsvektoren),ER
retningsvektoren kan findes på følgende måde.
n_alfa = (1,4,12)
n_xy-planen = (0,0,1)
r = n_alfa x n_xy-planen = (4,-1,0)
parameterfremstillingen bliver så:
(x,y,z)=(36,9,0)+t*(4,-1,0),ER
”Da endvidere n_beta ej er parallel med n_gamma, er beta og gamma ej parallelle”
man viser at de ikke er parallelle ved at finde deres krydsprodukt ikke. Hvis den giver o vektoren så er de parallelle.
opgave 2)
så har jeg fundet x og y og z:
x=36 , y=9, og z=0
(x,y,z)=(36,9,0)+t*(retningsvektoren),ER
retningsvektoren kan findes på følgende måde.
n_alfa = (1,4,12)
n_xy-planen = (0,0,1)
r = n_alfa x n_xy-planen = (4,-1,0)
parameterfremstillingen bliver så:
(x,y,z)=(36,9,0)+t*(4,-1,0),ER
Svar #7
27. november 2005 af Epsilon (Slettet)
#5:
Såfremt tilstrækkelig argumentation for fortegnsvariationen er tilstede, så må det være godt nok.
#6:
ad 1)
Du kan godt vise, at krydsproduktet ikke er nulvektoren. Hurtigere er det dog at benytte definitionen. Thi der findes jo intet s E R\\{0}, således at
n_beta = s(n_gamma),
Altså er de to vektorer ej parallelle.
ad 2)
Punktet (36,9,0) ligger ikke i alfa (og dermed ikke på skæringslinjen (lad os sige n) mellem alfa og xy-planen). Som jeg skrev i #4, kan man bestemme det punkt på x-aksen hhv. y-aksen, som ligger i alfa. Man får rigtignok x = 36 (y,z = 0) hhv. y = 9 (x,z = 0), og disse svarer jo så til to forskellige punkter (lad os sige R og S);
R = (36,0,0), S = (0,9,0),
som ligger i alfa.
En retningsvektor for n er eksempelvis
SR = OR - OS = (36,-9,0) = 9(4,-1,0),
og denne er som forventet parallel med krydsproduktet (n_alfa)x(n_xy), som du har bestemt. Altså er eksempelvis
n: (x,y,z) = (0,9,0) + t(4,-1,0), t E R
en parameterfremstilling for skæringslinjen n.
//Epsilon
Såfremt tilstrækkelig argumentation for fortegnsvariationen er tilstede, så må det være godt nok.
#6:
ad 1)
Du kan godt vise, at krydsproduktet ikke er nulvektoren. Hurtigere er det dog at benytte definitionen. Thi der findes jo intet s E R\\{0}, således at
n_beta = s(n_gamma),
Altså er de to vektorer ej parallelle.
ad 2)
Punktet (36,9,0) ligger ikke i alfa (og dermed ikke på skæringslinjen (lad os sige n) mellem alfa og xy-planen). Som jeg skrev i #4, kan man bestemme det punkt på x-aksen hhv. y-aksen, som ligger i alfa. Man får rigtignok x = 36 (y,z = 0) hhv. y = 9 (x,z = 0), og disse svarer jo så til to forskellige punkter (lad os sige R og S);
R = (36,0,0), S = (0,9,0),
som ligger i alfa.
En retningsvektor for n er eksempelvis
SR = OR - OS = (36,-9,0) = 9(4,-1,0),
og denne er som forventet parallel med krydsproduktet (n_alfa)x(n_xy), som du har bestemt. Altså er eksempelvis
n: (x,y,z) = (0,9,0) + t(4,-1,0), t E R
en parameterfremstilling for skæringslinjen n.
//Epsilon
Svar #8
27. november 2005 af Liv2004 (Slettet)
er ikke helt med på hordan du kommer frem til at parameterfremstillingen må være:
(x,y,z) = (0,9,0) + t(4,-1,0), t E R
Angående den sidste del af opgave 2)
Der følger en figur med til denne opgave.
Jeg kan prøve at beskrive figuren for dig men er ikke sikker på at du kan for særligt meget ud af det. Q ligger således:
Man kan tegne en ret linie fra L til Q (linie går igennem punktet B). Q ligger præcist på 2-aksen således at den koordinater må være Q(0,y,0).
P ligger således:
Man kan tegne en ret linie fra L til P (linie går igennem punktet A). P ligger et sted på 1.-og 2. akse således at koordinaterne må være P(x,y,0).
kunne man ikke finde 2 parameterfremstillinger:
En igennem LB og den anden igennem LA
parameterfremstilling for LB:
(x,y,z)=(0,0,3)+t*(0,3,-1), ER
parameterfremstilling for LA:
(x,y,z)=(0,0,3)+t*(4,2,-1), ER
kan man så på en eller anden måde finde skærningspunktet mellem LB og 2.aksen og LA og xy-planen.
Dermed kunne men finde de to punkter hvis man vel og mærke kan finde skæringen.
Når man har de to punkter så er afstanden meget nem at finde.
(x,y,z) = (0,9,0) + t(4,-1,0), t E R
Angående den sidste del af opgave 2)
Der følger en figur med til denne opgave.
Jeg kan prøve at beskrive figuren for dig men er ikke sikker på at du kan for særligt meget ud af det. Q ligger således:
Man kan tegne en ret linie fra L til Q (linie går igennem punktet B). Q ligger præcist på 2-aksen således at den koordinater må være Q(0,y,0).
P ligger således:
Man kan tegne en ret linie fra L til P (linie går igennem punktet A). P ligger et sted på 1.-og 2. akse således at koordinaterne må være P(x,y,0).
kunne man ikke finde 2 parameterfremstillinger:
En igennem LB og den anden igennem LA
parameterfremstilling for LB:
(x,y,z)=(0,0,3)+t*(0,3,-1), ER
parameterfremstilling for LA:
(x,y,z)=(0,0,3)+t*(4,2,-1), ER
kan man så på en eller anden måde finde skærningspunktet mellem LB og 2.aksen og LA og xy-planen.
Dermed kunne men finde de to punkter hvis man vel og mærke kan finde skæringen.
Når man har de to punkter så er afstanden meget nem at finde.
Svar #9
27. november 2005 af Epsilon (Slettet)
#8:
Punktet S = (0,9,0) ligger jo i såvel alfa som i xy-planen og dermed på skæringslinjen, n. Da endvidere (4,-1,0) er en retningsvektor for linjen, må
n: (x,y,z) = (0,9,0) + t(4,-1,0), t E R
være en parameterfremstilling for n.
Fejlen i #6 er, at punktet (36,9,0) ikke ligger i alfa og dermed ikke på skæringslinjen, n. Du får på en eller anden vis rodet to punkter (36,0,0) og (0,9,0) i xy-planen sammen til ét.
At dømme ud fra beskrivelsen har vi to rumlinjer; l gennem L og B, m gennem L og A; l skærer andenaksen i Q og m skærer xy-planen (z = 0) i P.
I så fald er de foreslåede parameterfremstillinger korrekte, om end der bør benyttes forskellige parametre (fx s og t). I øvrigt skal der stå 't E R'.
Q kan så bestemmes ved at sætte x = z = 0 i parameterfremstillingen for l.
P må kunne bestemmes ved at løse koordinatligningen
z = 0
mht. t i parameterfremstillingen for m.
//Epsilon
Punktet S = (0,9,0) ligger jo i såvel alfa som i xy-planen og dermed på skæringslinjen, n. Da endvidere (4,-1,0) er en retningsvektor for linjen, må
n: (x,y,z) = (0,9,0) + t(4,-1,0), t E R
være en parameterfremstilling for n.
Fejlen i #6 er, at punktet (36,9,0) ikke ligger i alfa og dermed ikke på skæringslinjen, n. Du får på en eller anden vis rodet to punkter (36,0,0) og (0,9,0) i xy-planen sammen til ét.
At dømme ud fra beskrivelsen har vi to rumlinjer; l gennem L og B, m gennem L og A; l skærer andenaksen i Q og m skærer xy-planen (z = 0) i P.
I så fald er de foreslåede parameterfremstillinger korrekte, om end der bør benyttes forskellige parametre (fx s og t). I øvrigt skal der stå 't E R'.
Q kan så bestemmes ved at sætte x = z = 0 i parameterfremstillingen for l.
P må kunne bestemmes ved at løse koordinatligningen
z = 0
mht. t i parameterfremstillingen for m.
//Epsilon
Svar #10
27. november 2005 af Liv2004 (Slettet)
# det som du skrev i 4.
skal man så selv vælge om man vi bruge den ene metode eller den anden.
"Til en parameterfremstilling for skæringslinjen mellem alfa og xy-planen kræves blot to punkter, og vil man gøre det særdeles bekvemmeligt for sig selv, finder man naturligvis alfas skæringspunkt med x-aksen (y,z = 0) hhv. y-aksen (x,z = 0), som jo ligger i xy-planen."
ved hjælp af x:
x + 4*0 + 12*0 = 36
x=36
så for vi punktet R som du har valgt at kalde den i #7.
R = (36,0,0)
ved hjælp af y:
0 + 4*y + 12*0 = 36
y=9
så for vi punktet S som du har valgt at kalde den i #7.
S = (0,9,0)
Kan jeg så selv bestemme hvilken punkt jeg vil bruge.
retningsvektoren kan findes på følgende måde.
n_alfa = (1,4,12)
n_xy-planen = (0,0,1)
r = n_alfa x n_xy-planen = (4,-1,0)
parameterfremstillingen bliver så:
(x,y,z)=Punkt + t*(4,-1,0),tER
Den anden del ser jeg på imorgen!
men er ikke helt med på hvordan jeg kan sætte x=z=0 ind i parameterfremstillingen for l:
regner med at det er sådan:
(0,y,0)=(0,0,3)+t*(0,3,-1), tER
hvad skal jeg så gøre:
0=0+t*0
y=0+t*3
0=3-t
skal man så selv vælge om man vi bruge den ene metode eller den anden.
"Til en parameterfremstilling for skæringslinjen mellem alfa og xy-planen kræves blot to punkter, og vil man gøre det særdeles bekvemmeligt for sig selv, finder man naturligvis alfas skæringspunkt med x-aksen (y,z = 0) hhv. y-aksen (x,z = 0), som jo ligger i xy-planen."
ved hjælp af x:
x + 4*0 + 12*0 = 36
x=36
så for vi punktet R som du har valgt at kalde den i #7.
R = (36,0,0)
ved hjælp af y:
0 + 4*y + 12*0 = 36
y=9
så for vi punktet S som du har valgt at kalde den i #7.
S = (0,9,0)
Kan jeg så selv bestemme hvilken punkt jeg vil bruge.
retningsvektoren kan findes på følgende måde.
n_alfa = (1,4,12)
n_xy-planen = (0,0,1)
r = n_alfa x n_xy-planen = (4,-1,0)
parameterfremstillingen bliver så:
(x,y,z)=Punkt + t*(4,-1,0),tER
Den anden del ser jeg på imorgen!
men er ikke helt med på hvordan jeg kan sætte x=z=0 ind i parameterfremstillingen for l:
regner med at det er sådan:
(0,y,0)=(0,0,3)+t*(0,3,-1), tER
hvad skal jeg så gøre:
0=0+t*0
y=0+t*3
0=3-t
Svar #11
27. november 2005 af Epsilon (Slettet)
#10:
"# det som du skrev i 4.
skal man så selv vælge om man vi bruge den ene metode eller den anden."
Hvilken opgave og hvilket spørgsmål taler vi om her?
"Kan jeg så selv bestemme hvilken punkt jeg vil bruge."
Ja, du vælger selv, om du vil benytte R eller S i parameterfremstillingen for skæringslinjen. Det eneste krav til det faste punkt er, at punktet er indeholdt i linjen. Således er
n: (x,y,z) = (36,0,0) + t(4,-1,0), t E R
blot en anden parameterfremstilling for skæringslinjen, n. Med andre ord er parameterfremstillinger altså langtfra entydigt bestemte; der kræves blot et punkt på linjen samt en retningsvektor for linjen.
Det nederste er helt korrekt opfattet. Den sidste koordinatligning:
0 = 3-t
fastlægger entydigt t = 3. Indsættes dette, ser vi, at linjen skærer andenaksen i punktet (0,9,0), dvs. i punktet S.
//Epsilon
"# det som du skrev i 4.
skal man så selv vælge om man vi bruge den ene metode eller den anden."
Hvilken opgave og hvilket spørgsmål taler vi om her?
"Kan jeg så selv bestemme hvilken punkt jeg vil bruge."
Ja, du vælger selv, om du vil benytte R eller S i parameterfremstillingen for skæringslinjen. Det eneste krav til det faste punkt er, at punktet er indeholdt i linjen. Således er
n: (x,y,z) = (36,0,0) + t(4,-1,0), t E R
blot en anden parameterfremstilling for skæringslinjen, n. Med andre ord er parameterfremstillinger altså langtfra entydigt bestemte; der kræves blot et punkt på linjen samt en retningsvektor for linjen.
Det nederste er helt korrekt opfattet. Den sidste koordinatligning:
0 = 3-t
fastlægger entydigt t = 3. Indsættes dette, ser vi, at linjen skærer andenaksen i punktet (0,9,0), dvs. i punktet S.
//Epsilon
Svar #12
18. januar 2006 af Anna18 (Slettet)
#1
Gælder der ikke at skæringslinjerne højst kan skære hinanden i ét punkt?
De behøver vel ikke nødvendigvis skære hinanden..? (Jeg ved så godt at de gør det i denne opgave, men bare for at være sikker)
Mvh. Anna
Gælder der ikke at skæringslinjerne højst kan skære hinanden i ét punkt?
De behøver vel ikke nødvendigvis skære hinanden..? (Jeg ved så godt at de gør det i denne opgave, men bare for at være sikker)
Mvh. Anna
Skriv et svar til: lidt hjælp søges!(MATH)!
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.