Matematik

Mat: Dobbeltpunkt

27. november 2005 af Ida1234 (Slettet)

I et kordinatsystem i planen bevæger sig et punkt ?(x,Y) si så der til tiden t gælder

x=sint
y=(t^2)-4

Jeg skal nu bestemme et dobbeltpunkt - altså et punkt hvor P befinder sig til 2 forskellige tidspunkter.. Hvordan gør man det?

Svar #1
27. november 2005 af Ida1234 (Slettet)

Slet ikke nogen der kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. november 2005 af Epsilon (Slettet)

Er der ingen restriktioner på t; altså tillades t at antage alle reelle værdier? I så fald er der faktisk uendeligt mange dobbeltpunkter på kurven.

Bemærk, at x = sin(t) er 2*pi-periodisk i t,

sin(t) = sin(t + 2*pi),

samt at x(t) E [-1;1] (værdimængden for sinus).

jf. enhedscirklen. Endvidere er y(t) = t^2 - 4 symmetrisk om andenaksen,

y(-t) = y(t).

Det må derfor være af umiddelbar interesse at opsøge dobbeltpunkter langs andenaksen (x = 0). Prøv det.

I øvrigt en lidt sjov kurve; den minder vel nærmest om en uendeligt lang snor, som er viklet uendeligt mange gange (hvis ellers det tillades, at t antager alle reelle værdier).

//Epsilon

Svar #3
27. november 2005 af Ida1234 (Slettet)

hov det glemte jeg at skrive (det er jeg altså ked af - troede ikke det have nogen betydning..).. t antager værdier fra -4 til 4..

Brugbart svar (0)

Svar #4
27. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#3:
Det er så i orden; men man skal altid skrive hele opgaveteksten. Som regel har definitionsområdet betydning for besvarelse af ét eller flere af spørgsmålene.

Med t E [-4;4] er der præcis ét dobbeltpunkt på kurven. Vinkene i #2 står jeg fortsat ved.

//Epsilon

Svar #5
27. november 2005 af Ida1234 (Slettet)

Kan du måske give nogle flere hints? For kan ikke helt forstå hvordan jeg skal undersøge hvor dobbeltpunktet er!

Brugbart svar (0)

Svar #6
27. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#5:
Dobbeltpunktet må være lokaliseret på andenaksen (x = 0). Argumentet herfor er følgende.

Vi ser, at

y(-t) = y(t)

For ethvert t E [-4;4]\\{0}, vil -t og t derfor svare til to punkter med samme andenkoordinat. Lad -t' hhv. t' betegne t-værdierne svarende til dobbeltpunktet; vi kræver altså, at

(x(-t'),y(-t')) = (x(t'),y(t'))

Dette er kun opfyldt, såfremt

sin(-t') = sin(t'),

og eftersom sin(-t') = -sin(t'), er dette kun muligt, hvis sin(t') = 0. Altså ligger dobbeltpunktet på andenaksen.

Løs derfor ligningen

sin(t') = 0.

Vink: benyt enhedscirklen.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #7
27. november 2005 af Tobias1234 (Slettet)

Er ikke helt sikker på jeg forstår forklaringen hvorfor det er nok kun at løse sin(t) = 0.. Men eftersom det åbenbart et det må t = pi og -pi ikke?

Svar #8
27. november 2005 af Ida1234 (Slettet)

Hov - kom lige til at svare fra min brors profil..

Brugbart svar (0)

Svar #9
27. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#7:
Jo, og dernæst angives dobbeltpunktets koordinater.

I henhold til #6 kræves det, at

-sin(t') = sin(t'),

og dette er tydeligvis kun opfyldt, hvis sin(t') = 0.

//Epsilon

Svar #10
27. november 2005 af Ida1234 (Slettet)

Ahh nu har jeg forstået det 100% - mange tak for din tid..

Skriv et svar til: Mat: Dobbeltpunkt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.