Matematik
Potensregning
De tre forskelle resultater:
-1
1
og (6.roden af -1)^2
Håber på svar hurtigst muligt.
Mvh
Tine
Svar #1
04. november 2003 af SP anonym (Slettet)
(-1)^(1/3) = 1/2+3^(1/2)/2*i
og ikke andet, men det kan da godt være, at jeg er forkert på den.
Svar #2
04. november 2003 af Brian (Slettet)
Opløftning til en potens er en regneoperation, og sådan nogle giver kun eet resultat.
Noget andet er, hvis man skal løse ligningen
x^3 = -1.
Så kan man selvfølgelig bruge "den omvendte" som er opløftning til potensen 1/3. Men sprogbrugen "DEN omvendte" er misvisende, fordi denne ligning har flere løsninger, og hvis man bruger DEN omvendte får man kun een af løsningerne. De øvrige løsninger kan så findes ud fra den ene, man kan finde med den omvendte, kombineret med viden om, hvordan den funktion der indgår i ligningen opfører sig.
Et typisk eksempel:
x^2 = 4.
Den omvendte er kvadratroden, (d.v.s. potens 1/2), og den returnerer 2. Men 2 er kun den ene løsning, -2 er den anden, og det finder man ud af ved at vide hvordan x^2 opfører sig.
M.h.t. det du konkret spørger om, så er opløftning af negative tal til en potens som ikke er et helt tal ikke defineret i de reelle tal overhovedet. Så inden for de reelle tal, kan det du spørger om ikke lade sig gøre.
Arbejder du/I med komplekse tal?
Svar #3
04. november 2003 af SP anonym (Slettet)
---------------------------------
Gør i detaljer rede for følgende udregninger af en potens af formen a^(p/q) og forklar årsagen til de forskellige resultater:
1. (-1)^(1/3)=3.rod af -1=-1
2. (-1)^(1/3)=(-1)^(2/6)=6.rod af((-1)^2)=6.rod af 1=1
3. (-1)^(1/3)=(-1)^(2/6)=(6.rod af(-1))^2
-----------------------------
Så der er altså flere løsninger.
Spørgsmålet er så bare: Hvorfor?
Mvh
Tine
Svar #4
04. november 2003 af Brian (Slettet)
Og så vil jeg stadig gerne vide, og du/I arbejder med komplekse tal?
Svar #5
04. november 2003 af SP anonym (Slettet)
Hmn.. Komplekse tal. Ved ikke lige hvad det er, men det tror jeg ikke.
mvh.
Tine
Svar #6
04. november 2003 af SP anonym (Slettet)
Svar #7
04. november 2003 af SP anonym (Slettet)
Kan du det?
Eller hvad er det der får dig til at protestere så højlydt?
Mvh
Tine
Svar #8
04. november 2003 af SP anonym (Slettet)
Du skal ikke bekymre dig om mit spørgsmål om komplekse tal, jeg kunne jo ikke vide, at vi snakker 1.g stof her.
Og nu til kamp:
Den opgaveformulering du har videregivet, er fuldkommen håbløs, og den er helt uegnet til at give elever et indtryk af opløftning til en potens, som er en brøk, hvad jeg nemlig går ud fra må være meningen. Det er ubrugeligt, fordi I bliver sat til at forklare noget, som simpelt hen er forkert!
Som jeg sagde før: en regneoperation giver altid eet og kun eet resultat - ellers kan man jo ikke regne med noget som helst, bogstavelig talt!
Dertil kommer, at (-1)^(1/3) ikke er defineret, d.v.s. ikke kan lade sig gøre... med mindre vi inddrager de førnævnte komplekse tal, men det gør vi så vidt jeg ved aldrig i 1.g.
Man kunne formulere en ny opgave således:
1. 27^(1/3) = 3.rod-af(27) = 3.
Så kender vi det ene resultat, som 27^(1/3) kan give...
2. 27^(1/3) = 27^(2/6) = 6.rod-af( 27^2 ) = 3.
Fordi 1/3 = 2/6 og nævneren i potensen altid svarer til den tilsvarende rod.
3. 27^(1/3) = ( 6.rod-af(27) )^2 = 3.
Fordi tælleren i potensen altid svarer til den tilsvarende potensopløftning, hvis man bruger nævneren til at tage rod først.
Generel regel: p/q = p*(1/q), derfor er a^(p/q) = a^( p*(1/q) ) =
(a^p)^(1/q) = ( a^(1/q) )^p, og da a^(1/q) = q.rod-af(a), kan vi nu forklare alle 3 tilfælde.
Bemærk, at alle tre udregninger altid giver det SAMME resultat. Det er DET, der er HELE pointen - at lige meget hvordan man omskriver, så bliver resultatet - selvfølgelig - det samme. Ellers ville det jo ikke være en omskrivning, men en ændring og så kunne man jo ikke sætte lighedstegn imellem...
Jeg fatter ikke at dette er sluppet gennem forlagets korrekturlæsning...
Hvis jeg lyder ophidset, så er det ikke dig, Tine, men din bog. Hvis det virkelig er det, der står, og der ikke ligger en eller anden sygelig pædagogisk pointe bag, så vil jeg give Dominik ret... Som sagt, vl jeg gerne vide hvem forfatteren er, jeg vil simpelthen se denne utrolige bog.
Svar #9
04. november 2003 af Brian (Slettet)
M.v.h - brian
Svar #10
04. november 2003 af SP anonym (Slettet)
Svar #11
04. november 2003 af SP anonym (Slettet)
Forlaget er Systime A/S
Forfatterne er Jens Carstensen og Jesper Frandsen.
Svar #12
04. november 2003 af Brian (Slettet)
Og Dominik, du sku' da ta' og blive oprettet! Når du nu skriver så meget... så fik måske også roser for andet end at rakke ned :-)
Svar #15
05. november 2003 af Brian (Slettet)
nu har jeg fået både lærebog og opgavebog fra et bibliotek.
Jeg kan berolige dig med at det faktisk er et ganske godt lærebogssystem til 1.g - så du behøver ikke have mistillid til det, selv om vi hidser os op over en enkelt (ret) uheldig opgave.
Til sagen: Carstensen & Frandsen (C&F) definerer n-te rod for n hel og positiv på side 68 i bogen. Man vil gerne kunne lave en rod for så meget som muligt, d.v.s. også for negative tal, hvis det kan lade sig gøre. Derfor et krumspring med at sige, at hvis n er ulige, så kan vi godt have n-te rod af et negativt tal, men ikke hvis n er lige.
Dermed bliver det i overensstemmelse med bogen at sige, at 3.rod-af(-1) = -1.
Anderledes stiller det sig med potenser, hvor eksponenten er en brøk. I flg. definitionerne på side 73 og 74 er disse KUN defineret for a positiv. (-1)^(1/3) er derfor ikke defineret i flg. C&F, og man kan dermed roligt nægte at regne det ud - det kan ikke lade gøre.
Spørgsmålet er derefter hvad vi skal stille op med opg. 422, som du har citeret? Man KUNNE vælge at læse opgave således, at det at "gøre rede for følgende udregninger" betyder "find og beskriv fejlene" i udregningerne.
Så er forklaringen på de forskellige resultater jo netop at udregningerne er forkerte! Og opgaven er så at påpege fejlene. Så kan man svare følgende:
1. Kan ikke lade sige gøre, da (-1)^(1/3) ikke er defineret.
2. og 3.: samme svar!
Med andre ord: man er blevet sat til at forholde sig til noget, som matematisk set er volapyk, jvf. C&F's egen definition.
Jeg vil derfor fastholde, at det er en åndssvag opgave, og at det er et mysterium, at 1. C&F hr fået sig selv til at skrive den, 2. at en eller anden forlagskonsulent ikke har fanget den og 3. at jeres lærer har stillet jer den. Men vi fejler jo allesammen, her er det bare sket 3 gange i kæde...
Jeg håber dette opklarer sagen for dig. Det skal til din ros siges, at du jo helt i starten undrede dig over at noget kunne give 3 resultater. Hold fast i den undren! Du havde jo ret: en udregning skal selvfølgelig altid give præsic 1 resultat, og hverken 2 eller 3.
Svar #16
06. november 2003 af SP anonym (Slettet)
Mange tak for dit rigtigt gode svar Brian!
Lige et lille spørgsmål mere:
Jeg kan godt se at det er "ulovligt" at sige (-1)^(1/3)idet dette ikke er defineret.
Spørgsmålet er så hvorfor at resultatet bliver rigtigt nok - altså -1?
Mvh. Tine
Svar #17
06. november 2003 af SP anonym (Slettet)
Er der nogen der kan hjælpe lille mig??
mvh
Tine
Svar #18
06. november 2003 af Brian (Slettet)
du skriver: "Jeg kan godt se at det er "ulovligt" at sige (-1)^(1/3)idet dette ikke er defineret".
Det er ikke bare "ulovligt", det er rigtig ulovligt - uden citationstegn! Så resultatet af udregningen er altså ikke rigtigt, da udregningen ikke giver mening. Problemet er, at man bliver lokket til at tro, at 3.rod og potens med eksponent (1/3) er det samme. Det er det godt nok også for de positive tal. Men i flg. definitionerne altså ikke for negative tal.
Det er derfor denne opgave efter min mening er så skrækkelig - den trækker elevens fokus væk fra det væsentlige - nemlig, at man skal holde sig til definitionerne og så selvfølgelig at der er nogle sammenhænge mellem rod og potens. Sammenhænge som kun gælder for positive tal, fordi brøker som eksponent ikke er tilladt for negative tal.
Men selvfølgelig og på den anden side, så er det jo egentlig en god opgave, fordi den afføder en vældig diskussion, så man aldrig herefter glemmer at negative tal ikke må have en brøk som eksponent - så har man da lært det ;-)
Svar #19
06. november 2003 af SP anonym (Slettet)
Rigtig mange tak for dine (mange) svar :-)
Hvor er det dog dejligt at der er nogle mennesker der gider give sig tid til at forklare uforståelige ting for mindre kloge folk (som mig.. hehe..)
Mange tak for hjælpen.
Mvh
Tine
Svar #20
06. november 2003 af SP anonym (Slettet)
Hvordan kan det være at min kære lille lommeregner kan få (-1)^(1/3)til at give -1? Når dette nu er ulovligt? For på lommeregneren er der jo ikke lavet nogen mellemregning med 3. rod(-1)
mvh
Tine