Matematik
Asymptote mm.
28. november 2005 af
KickAzz (Slettet)
Hej,
Jeg er i gang med en aflevering i matematik, hvor jeg er stødt ind i et problem.
Opgaven lyder:
"Arbejdsprocesser udføres ofte mere effektivt, efterhånden som udøveren af arbejdet får større erfaring. I en model for arbejdsprocessers effektivitet gælder, at effektiviteten f(t) som funktion af den tid t (uger), udøveren har været beskæftiget med arbejdet, er givet ved
f(t) = 1,00 - 0,60 * 0,90^t , t >= 0"
Gør rede for, at funktionen er voksende:
Da 0,90 < 1 er funktionen voksende. Hvordan skal jeg uddybe det? Det er jo noget med at det tal der vil blive trukket fra 1,00 bliver mindre jo større t er, men hvordan lyder en kort men præcis forklaring?
Gør rede for, at grafen f har en asymptote, og bestem en ligning for denne:
f har en vandret asymptote, da
f(t) --> 1 for t --> 'uendelig'
Dette er vel i sig selv ingen redegørelse?
Og hvordan bestemmer jeg en ligning for asymptoten?
Hvor længe skal udøveren have været beskæftiget med arbejdet, før effektiviteten er 0,95?
Denne opgave burde være korrekt. Jeg får resultatet til 23,58 uger ~ 23 uger og 4 dage.
*******************************************
Til sidst er der endnu en opgave:
"Tegn grafen for en funktion f, der opfylder følgende:
f har definitionsmænge [1;6]
f(1) = 2, f(4) = 0 og f(6) = -4
f er differentiabel i ]1:6[
fortegn og nulpunkter for f' er som angivet på tallinjen:"
http://www.yuhuu.dk/tallinje.jpg
Se grafen jeg har lavet her:
http://www.yuhuu.dk/graf.jpg
*******************************************
Håber der er en eller flere, der kan hjælpe.
Mvh
Peter
Jeg er i gang med en aflevering i matematik, hvor jeg er stødt ind i et problem.
Opgaven lyder:
"Arbejdsprocesser udføres ofte mere effektivt, efterhånden som udøveren af arbejdet får større erfaring. I en model for arbejdsprocessers effektivitet gælder, at effektiviteten f(t) som funktion af den tid t (uger), udøveren har været beskæftiget med arbejdet, er givet ved
f(t) = 1,00 - 0,60 * 0,90^t , t >= 0"
Gør rede for, at funktionen er voksende:
Da 0,90 < 1 er funktionen voksende. Hvordan skal jeg uddybe det? Det er jo noget med at det tal der vil blive trukket fra 1,00 bliver mindre jo større t er, men hvordan lyder en kort men præcis forklaring?
Gør rede for, at grafen f har en asymptote, og bestem en ligning for denne:
f har en vandret asymptote, da
f(t) --> 1 for t --> 'uendelig'
Dette er vel i sig selv ingen redegørelse?
Og hvordan bestemmer jeg en ligning for asymptoten?
Hvor længe skal udøveren have været beskæftiget med arbejdet, før effektiviteten er 0,95?
Denne opgave burde være korrekt. Jeg får resultatet til 23,58 uger ~ 23 uger og 4 dage.
*******************************************
Til sidst er der endnu en opgave:
"Tegn grafen for en funktion f, der opfylder følgende:
f har definitionsmænge [1;6]
f(1) = 2, f(4) = 0 og f(6) = -4
f er differentiabel i ]1:6[
fortegn og nulpunkter for f' er som angivet på tallinjen:"
http://www.yuhuu.dk/tallinje.jpg
Se grafen jeg har lavet her:
http://www.yuhuu.dk/graf.jpg
*******************************************
Håber der er en eller flere, der kan hjælpe.
Mvh
Peter
Svar #3
29. november 2005 af Epsilon (Slettet)
Din forklaring er sådan set korrekt, om end noget kortfattet. Funktionen g defineret ved
g(t) = 0,60*0,90^t , t >= 0
er aftagende (g er proportional med en eksponentialfunktion, og 0 < 0,90 < 1), og dermed vil
f(t) = 1,00 - g(t), t >= 0
således være voksende.
Alternativt kan man benytte differentialregning.
Som bekendt er en asymptote til grafen for en funktion f karakteriseret ved, at afstanden mellem denne og grafen for f kan gøres vilkårligt lille, blot man vælger den uafhængige variabel (her: t) 'passende', så at sige.
I den konkrete opgave er det klart, at grafen for f ikke kan have en lodret asymptote. Lad y = k(t) være ligning for en asymptote (den være sig skrå eller vandret). At dømme ud fra grafen for f, ser denne ud til at have linjen y = 1,00 som vandret asymptote.
Sæt derfor k(t) = 1,00, og bemærk, at
|k(t) - f(t)| = 0,60*0,90^t, t >= 0
Eftersom a^t -> 0 for t -> infty, hvis 0 < a < 1, kan vi hermed slutte, at
|k(t) - f(t)| -> 0 for t -> infty
hvilket netop viser, at linjen med ligning y = 1,00 er vandret asymptote til grafen for f. Ifølge modellen vokser effektiviteten altså asymptotisk mod 1,00 (100%).
//Epsilon
g(t) = 0,60*0,90^t , t >= 0
er aftagende (g er proportional med en eksponentialfunktion, og 0 < 0,90 < 1), og dermed vil
f(t) = 1,00 - g(t), t >= 0
således være voksende.
Alternativt kan man benytte differentialregning.
Som bekendt er en asymptote til grafen for en funktion f karakteriseret ved, at afstanden mellem denne og grafen for f kan gøres vilkårligt lille, blot man vælger den uafhængige variabel (her: t) 'passende', så at sige.
I den konkrete opgave er det klart, at grafen for f ikke kan have en lodret asymptote. Lad y = k(t) være ligning for en asymptote (den være sig skrå eller vandret). At dømme ud fra grafen for f, ser denne ud til at have linjen y = 1,00 som vandret asymptote.
Sæt derfor k(t) = 1,00, og bemærk, at
|k(t) - f(t)| = 0,60*0,90^t, t >= 0
Eftersom a^t -> 0 for t -> infty, hvis 0 < a < 1, kan vi hermed slutte, at
|k(t) - f(t)| -> 0 for t -> infty
hvilket netop viser, at linjen med ligning y = 1,00 er vandret asymptote til grafen for f. Ifølge modellen vokser effektiviteten altså asymptotisk mod 1,00 (100%).
//Epsilon
Svar #4
29. november 2005 af Epsilon (Slettet)
Den anden opgave er korrekt besvaret; der er naturligvis talrige, mulige grafer for f, som opfylder det ønskede.
//Epsilon
//Epsilon
Skriv et svar til: Asymptote mm.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.