Matematik

Trigonometrisk funktion

30. november 2005 af Mikziel (Slettet)

Hej Sp.

Jeg er løbet ind i problemer, og vil meget gerne have hjælp til følgende opgave:

Udetemperaturen sidst i maj svinger i løbet af døjnet og kan tilnærmelsesvis angives som en funktion f med regneforskriften:

f(t)=16+5*cos((2*pi(t-14))/24),t E [0;24]

Her angiver t tiden i timer og t=0 svarer til kl. 0 f(t) er målt i oC.

a) På hvilke tidspunkter af døgnet er temperaturen 17o?

mit foreslag var så at sætte f(t)=17, på denne måde får jeg så at t=19,23 men der er jo en skæring mere i dette interval, hvordan finder jeg den?

på forhånd tak.

\\\\Mikziel

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Brug, at cos(x) = cos(2*pi-x).

Brugbart svar (0)

Svar #2
30. november 2005 af lany (Slettet)

På et tidspunkt skal du beregne cos^(-1)(1/5). Dette giver ca. x1=1,3694, hvis du lader lommeregneren finde løsningen, men kigger du på enhedscirklen, er x2=2pi-1,3694 også en løsning. Nu skal du løse resten af ligningen:

x1=2*pi(t-14))/24 og x2=2*pi(t-14))/24. Dette giver to værdier af t - den ene er forhåbentlig den, du selv fandt (har ikke tjekket)

Svar #3
30. november 2005 af Mikziel (Slettet)

Jeg er stadig ikke helt med, jeg har fundet x2 og skal finde x1, hvordan skal bruge at cos(x) = cos(2*pi-x)?

Brugbart svar (0)

Svar #4
30. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#3:
Først en omskrivning:

cos(2*pi*(t - 14)/24)
= cos((pi*t - 14*pi)/12)
= cos(1/12*pi*t - 7/6*pi)

Vi har så, at

cos(1/12*pi*t - 7/6*pi)
= cos(2*pi - {1/12*pi*t - 7/6*pi})
= cos(-1/12*pi*t + 19/6*pi)

Prøv nu at regn videre herfra.

Brugbart svar (0)

Svar #5
30. november 2005 af lany (Slettet)

At cos(x)=cos(2pi-x) er det, der også bruges i #2 - det fremgår bare ikke direkte. x1 og x2 kan du umiddelbart finde som beskrevet i #2.

Svar #6
30. november 2005 af Mikziel (Slettet)

#5 jeg ved ikke hvad de 1,3694 er, jeg kender de to skæringspunkter mllem f(t) og y=17, men jeg har bare ikke regnet dem ud, punkterne ligger i x=8.769 og x=19,23

Svar #7
30. november 2005 af Mikziel (Slettet)

#4 den sidste udregning, hvordan kommer du dertil fra den næstsidste?

Brugbart svar (0)

Svar #8
30. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#7:
Jeg bruger såmænd blot, at

2*pi - (- 7/6*pi)
= 2*pi + 7/6*pi
= (12/6 + 7/6)*pi
= 19/6*pi

Svar #9
30. november 2005 af Mikziel (Slettet)

#8 aah ja ok, det kunne jeg ikke lige gennemskue.

hmm...
Nu har jeg forsøgt at regne videre, men får et forkert resultat, kan i se hvor jeg laver fejl?

17=16+5*cos(-(1/12)*pi*x+(19/6)*pi),t E [0;24]

<=>
cos^-1(1/5)=-1/12*pi*x+19/6*pi
<=>
cos^-1(1/5)-19/6*pi=-1/12*pi*x
<=>
(cos^-1(1/5)-19/6*pi)/(-1/12*pi)=x

Brugbart svar (0)

Svar #10
30. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#9:
Jeg har lidt på fornemmelsen, at jeg måske har blidt dig noget ind, som ikke er korrekt -- jeg tjekker lige.

Svar #11
30. november 2005 af Mikziel (Slettet)

ok, har du det?

Brugbart svar (0)

Svar #12
30. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Jeg fik da vist en hjerneblødning før; du skal selvfølgelig bruge, at

cos(x) = cos(-x). (*)

Vi har først, at for 0 <= t <= 24, er

f(t)
= 16 + 5*cos(2*pi*(t-14)/24)
= 16 + 5*cos((pi*t - 14*pi)/12)
= 16 + 5*cos(pi/12*t - 7/6*pi).

Ved brug af (*) har vi også, at

f(t) = = 16 + 5*cos(-pi/12*t + 7/6*pi).

Sæt nu f(t) = 17 i begge ligninger og løs med hensyn til t; resultatet bliver, at

t = 14 +/- 12/pi*arccos(1/5),

som afrundet giver værdierne

t = 19,23
t = 8,77

Dette er de eneste to løsninger i det givne interval.

Svar #13
30. november 2005 af Mikziel (Slettet)

ok, mange tak, jeg kan dog ikke komme frem til det samme resultat:
t = 14 +/- 12/pi*arccos(1/5),
vil du vise hvordan du har gjort? jeg ender med:
(arccos(1/5)-7/6*pi)/-(pi/12)=t

Brugbart svar (0)

Svar #14
30. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#13:
Sæt f(t) = 17, så er

17 = 16 + 5*cos(pi/12*t - 7/6*pi) =>
(17-16)/5 = cos(pi/12*t - 7/6*pi) =>
arccos(1/5) = arccos(cos(pi/12*t - 7/6*pi)) =>
arccos(1/5) = pi/12*t - 7/6*pi =>
arccos(1/5) + 7/6*pi = pi/12*t =>
(arccos(1/5) + 7/6*pi)/(pi/12) = t =>
t = 12/pi*arccos(1/5) + 12/pi*7/6*pi =>
t = 12/pi*arccos(1/5) + 12/6*7 =>
t = 14 + 12/pi*arccos(1/5).

Dette var med mange mellemregninger ;-)

På tilsvarende måde gør du for det andet tilfælde.

Svar #15
30. november 2005 af Mikziel (Slettet)

Mange mange mange tak!!
nu er jeg helt med :)

Jeg går i seng nu, Sov godt!

\\\\Mikziel

Skriv et svar til: Trigonometrisk funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.