Integral

Opdatering af tråden.

Integralet er divergent. Med

f(x) = (x-k)^2*exp(-(x-k)/(2s^2))

vil for vilkårlige k E R, s E R\\{0}

f(x) -> infty for x -> - infty.
f(x) -> 0+ for x -> infty

Mener du istedet:

f(x) = (x-k)^2*exp(-(x-k)^2/(2s^2))

Trods manglende bekræftelse på formodningen i #2 vil jeg antage at der menes det uegentlige integral

oo
S[(x-k)²exp(-(x-k)²/(2s²))]dx (1)
-oo

En hurtig vej frem er at betragte definitionen på Gammafunktionen. I mangel af bedre benævner jeg den med G, hvorved definition lyder

oo
S[t^(x-1)exp(-t)]dt = G(x) , x > 0
0

Foretag substitutionen

u = sqrt(t) => t=u² => dt=2udu

og få

oo
S[2(u²)^(x-1)exp(-u²)u]du =
0

oo
S[2u^(2x-1)exp(-u²)du = G(x) (2)
0

Betragt nu det givne, uegentlige integral (1) og foretag heri substitutionen

t = (x-k)/(sqrt(2)s) => dt=dx/(sqrt(2)s)

og få

oo
S[2sqrt(2)s³t²exp(-t²)]dt (3)
-oo

Af (2) ses nu at

oo
S[t²exp(-t²)]dt = ½G(3/2) (4)
0

Integralet i (3) splittes i en sum af to uegentlige integraler

oo
S[...]dt =
-oo

0
S[...]dt +
-oo

oo
S[...]dt
0

Det sidste integral vides at eksistere, thi det fremgår jo af (4). Grundet symmetrien i integranden må endvidere

0
S[...]dt =
-oo

oo
S[...]dt
0

Heraf slutter vi at integralet (3) eksisterer og er lig

2sqrt(2)s³(½G(3/2) + ½G(3/2)) =

2sqrt(2)s³G(3/2) =

sqrt(2pi)s³

idet G(3/2) = sqrt(pi)/2

Der gælder nemlig at

G(½) = sqrt(pi)

samt rekursionsformlen

G(x+1) = xG(x)

hvoraf

G(3/2) = G(½+1)=½G(½)=sqrt(pi)/2

Man kan også bare slå op i en integraltabel. ;-)

Spørgeren lader forstå, at det er metoden mere end resultatet, der er interessant.