Matematik

Maclaurin (taylor)

14. december 2005 af Miss Frb (Slettet)

Jeg skal opskrive Maclaurinrækkerne for funktionerne f(x)= ln(1+x) og g(x)= ln(1-x) for -1 f(0)=0
f'(x) = (1+x)^-1 -> f'(0)=1
f''(x)=-(1+x)^-2 -> f''(0)= -(1)^-2 = -1
f'''(x)= 2(1+x)^-3 -> f'''(0)= 2(1)^-3 = 2
f''''(x)= -6(1+x)^-4 -> f''''(0)= -6(1)^-4 = -6
f'''''(x)= 24(1+x)^-5 -> f'''''(0)= 24(1)^-5 = 24.

Herfra har jeg meget brug for hjælp!

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. december 2005 af sigmund (Slettet)

Hvad har du brug for hjælp til? Hvad er din motivation for at gå i gang med at evaluere funktionen og de afledte i x=0?

Brugbart svar (0)

Svar #2
14. december 2005 af fixer (Slettet)

Hint:

f(x) = log(1+x)

medfører

f^(n)(x) = (-1)^(n+1) * (n-1)! * (1+x)^(-n)

Svar #3
14. december 2005 af Miss Frb (Slettet)

Jeg har brug for hjælp til g(x) samt vide hvordan man noterer at det er i det givne interval. - hvordan sætte jeg resultatstreger under.

Motivationen er et projekt, der helst skulle afleveres uden regnefejl, men på disse to opgaver er jeg i tvivl.

Når man sætter x=0 i taylors formel fremkommer en maclaurinrække.

Brugbart svar (0)

Svar #4
15. december 2005 af sigmund (Slettet)

I g(x) gør du bare på samme måde, dvs. at du differentierer og sætter ind i Taylors formel. Efter at have differentieret nogen gange, burde du se et mønster.

Interval:

Har du hørt om potensrækker og konvergensradius? Rækkerne for ln(1+x) og ln(1-x) er

ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...
ln(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-...

Som uendelige rækker skrives de

ln(1+x)=SUM{(-1)^n*x^(n+1)/(n+1)}, hvor n går fra 0 til uendelig.
ln(1-x)=SUM{-x^(n+1)/(n+1)}, hvor n går fra 0 til uendelig.

Nu kan der udføres et kvotienttest på disse rækker, hvilket vil medføre at de kun konvergerer for |x|<1.

Brugbart svar (0)

Svar #5
15. december 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#3:
Projekt = SSO, ikke sandt?

Den i #2 anførte påstand [som er ganske korrekt!] kræver selvfølgelig et bevis; induktion er her at foretrække.

Tilsvarende gælder der, at for

f(x) = log(1-x)

er den n'te afledede [der eksisterer] givet ved

f^(n)(x) = -(n-1)!*(1-x)^(-n)

Igen kan du bruge induktion til at bevise dette.

Svar #6
15. december 2005 af Miss Frb (Slettet)

Tak for hjælpen alle tre, nu tor jeg at jeg har den:)
Jo, projektet er den større skriftlige opgave i 3. g.

I kunne måske hjælpe mig videre i følgende:

Jeg har for funktionen h(x)= ln((1+x)/(1-x)) bestemt Maclaurinrækken

= 2x+(2/3)*x^3+(2/5)*x^5+(2/7)*x^7+ ...
Hvis jeg for denne række skal bestemme en tilnærmet værdi af ln2 (hvori jeg medtager de første 4 led af rækken.
Her jeg prøvet mig frem og sat x=1/3 og får da 0,6924 sammenlignet med ln2=0,6931.

Findes der en metode så jeg ikke behøver skrive, at det var gæt?

Brugbart svar (0)

Svar #7
15. december 2005 af fixer (Slettet)

Gæt?

Der gælder jo netop at

h(1/3) = log(2)

thi

(1+x)/(1-x) = 2 <=>

x = 1/3

Svar #8
15. december 2005 af Miss Frb (Slettet)

jeg forstår ikke h'et foran (1/3) i #7 ?

Brugbart svar (0)

Svar #9
15. december 2005 af fixer (Slettet)

Du har da ellers selv i #6 angivet, at der er tale om funktionen

h(x)= ln((1+x)/(1-x))

Svar #10
15. december 2005 af Miss Frb (Slettet)

uhh:) jeg troede at det var et fancy prg på min Texas jeg endnu ikke kendte, jeg beklager.

Brugbart svar (0)

Svar #11
15. december 2005 af morfrazz (Slettet)

hey.. jeg har også fået den opgave som miss frb har i min sso med at opskrive taylorrække for fkt = ln(1-x) for -1<x<1, men jeg forstår ikke helt det i forklarer? kan i hjælpe mig?

Svar #12
16. december 2005 af Miss Frb (Slettet)

Hej igen.
Nu har jeg været i gang med de to induktionsbeviser som Dominik Hasek i #5 finder nødvendige.
Og jeg er ved at kløjes i disse, kan hverken komme frem eller tilbage.
Så jeg ville høre, om der er nogle af jer derude, der har lavet et elektronisk, jeg måtte gennemgå eller et link til et sted på nettet, hvor de er at finde?

Brugbart svar (0)

Svar #13
16. december 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#12:
Lad mig vise dig det ene tilfælde, så kan du selv prøve med det andet:

Lad f : (-1,1) --> R være givet ved

f(x) = log(x+1)

Vi ved, at f er vilkårligt mange gange differentiabel (man siger at f er glat), så f^(n)(x) eksisterer for ethvert n E N. For at vise, at

f^(n)(x) = (-1)^(n+1)*(n-1)!*(1+x)^(-n) (*)

vil vi bruge induktion. Lad U_n være udsagnet givet i (*); først viser vi tilfældet n = 1:

f^(1)(x)
= d[log(x+1)]/dx
= 1/(x+1)*1
= (-1)^2*0!/(x+1)
= (-1)^(1+1)*(1-1)!*(x+1)^(-1)

Hermed har vi vist induktionsstarten. Nu skal vi til induktionsskridtet, så antag derfor, at U_p er sandt. Vi skal så have vist, at

U_p => U_(p+1)

Der gælder følgende:

f^(n+1)(x)
= d[f^(n)(x)]/dx
= d[(-1)^(n+1)*(n-1)!*(x+1)^(-n)]/dx
= (-1)^(n+1)*(n-1)!*d[(x+1)^(-n)]/dx
= (-1)^(n+1)*(n-1)!*(-n)*(x+1)^(-n-1)
= (-1)^(n+2)*n*(n-1)!*(x+1)^(-n-1)
= (-1)^((n+1)+1)*((n-1)+1)!*(x+1)^(-(n+1))

Hermed har vi vist induktionsskridtet. Ifølge induktionsaksiomet betyder dette, at U_n er sandt for ethvert n E N.

Svar #14
16. december 2005 af Miss Frb (Slettet)

Tak. Det gjorde, at jeg fandt min fejl.

Tak til alle for hjælpen.

Skriv et svar til: Maclaurin (taylor)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.