Matrix regning

Et par hints:

1a) Determinanten af kA er k|A|. Udnyt at A er regulær, altså at |A| != 0.

1b) Da kA er regulær har den invers, som er løsningen til ligningen

(kA)X = E (*)

hvor E er enhedsmatricen med rang n. Udfør de simple regninger for at løse (*) mht X.

2) Da kA fremkommer af A ved at multiplicere samtlige elementer (a_rs) med k, skal der på A blot multipliceres netop så mange operationsmatricer, der skalerer en række (søjle) med k, at A transformeres til kA. Hvor mange skal der til af dem ?

1a) Vi har godt nok stadig ikke haft determinanter :)

Men kan man ikke sige at det følger af at vektormultiplikation er associativ?

2)Så kA=S(1)S(2)...S(m), hvis m er A's rækkeantal og S er operationsmatricen der ganger en konstant på række i, ikke?

2) *kA=S(1)S(2)..S(m)A
mente jeg...

endda mener jeg også matrixmultiplikation :)

Til 1)
Man behøves slet ikke determinanter. Givet en n x n matrix A, så er B dens invers hvis og kun hvis AB = I.
Da A er regulær kan du finde A^-1. Sæt nu B = (1/k)A^-1. Nu er

(kA)B = kA(1/k)A^-1 = k(1/k)AA^-1 = (k/k)I = I

Altså er B = (1/k)A^-1 invers til matricen kA.

Til 2)
Med "regulære operationsmatricer" går jeg ud fra, du mener de 3 slags matricer, der enten
- ombytter to rækker
- trækker et multiplum af en række fra en af de andre
- skalerer en af rækkerne,
ikke sandt?

Sæt så S(i) = R(i) for 1
og S(p+1), ..., S(p+n) til at være de matricer, der skalerer de n forskellige rækker med k. Nu er S(p+1)S(p+2)...S(p+n) = kI, så

S(1)S(2)...S(p)S(p+1)...S(p+n) = AkI = kAI = kA

tak :)
1) går ud fra du med I mener enhedsmatricen, ikke?
Det var lidt det samme jeg havde tænkt, var bare ikke sikker på om det var et bevis.
2) ja, det er dem jeg mener.

Er ikke helt med her.
Hvorfor er S(i)=R(i) for 1
og hvordan kommer S(p+1) etc. ind i billedet? :)
Kan godt se at hvis man ganger operationsmatricen der skalerer en række på hver for af rækker i matricen, men forstår ikke helt hvordan du når frem til at få AkI.
Kan du uddybe lidt? Er lidt ny på området her :)

Det var så lidt ;-)
1) Jeps, når man regner med matricer er det som oftest underforstået, at I er enhedsmatricen af passende dimension (dvs. så udtrykket giver mening).

Det er et supergodt bevis. Som jeg skrev er B invers til A hvis og kun hvis AB = I. Hvis du derfor har et B, så AB = I, så er det nødvendigvis A's invers (..og det er ligemeget om du så har fået B sendt fra himlen, eller fået det af en bums på gaden ;-).
Det er tilmed ekstra godt, for det viser samtidig første del af spørgsmålet. A er jo regulær hvis og kun hvis A har en invers.

2) Du for givet en række af operationsmatricer R(1), ..., R(p), så
A = R(1)...R(p).
Nu bliver du så bedt om at finde en anden række operationsmatricer S(1)...S(q), så
kA = S(1)...S(q),
ikke sandt?

Derfor sætter jeg nu de p første operationsmatricer S(1)...S(p) til at være de samme som dem jeg får givet.
Altså
S(1) = R(1),
S(2) = R(2),
osv. op til
S(p) = R(p).
(En kort mådet at skrive dette er S(i) = R(i) for 0
Nu er produktet af de p første S'er altså
S(1)...S(p) = R(1)...R(p) = A,
ikke sandt?
Sæt nu de n næste S'er til at være de n operationsmatricer, der ganger de forskellige rækker/søjler med k. De har altså numrene S(p+1), S(p+2) op til S(p+n), og produktet af dem er
S(p+1)...S(p+n) = kI

Nu har jeg altså defineret en ny række af operationsmatricker S(1), S(2), op til S(q), hvor q = p+n. Jeg vil nu vise, at det netop er den række af operationsmatricer jeg søger. Altså skal produktet af dem alle helst give kA. Med andre ord skal jeg vise, at
S(1)...S(q) = kA.
Hvis jeg nu starter med at gange de p første operationsmatricer sammen, får jeg A, som jeg tidliger skrev. Altså
S(1)...S(q) = AS(p+1)...S(q).
Jeg skrev også tidligere, at produktet af de n sidste operationsmatricer netop er kI, så
AS(p+1)...S(q) = AkI.
Nu bruger jeg så almindelige matrixregneregler, og får
AkI = kAI = kA.
Altså har jeg nu vist, at produktet af min følge af operationsmatricer S(1)...S(q) netop giver kA, og følgen er derfor præcis den, jeg bliver spurgt om.

okay, super! Mange tak! Nu er jeg opdateret!

Cool

"supergodt bevis" er måske så meget sagt. En mindre elegant detalje er det, at der gættes på at (1/k)A^(-1) er den inverse, hvorefter det ved regninger eftervises at forholde sig således. Regningerne kan sådan set gennemføres uden at gætte på en løsning.

Et elegant bevis ville være at indse, at mængden af invertible n x n - matricer danner en Lie gruppe (en generel linær gruppe GL(n,C)), med matrix multiplikation som gruppeoperation. Da ligger produktet kA = (kI)A af de invertible matricer kI og A ligeledes i GL(n,C) og er derfor selv invertibel.

Men der er ingen tvivl om, at man efterspørger en redegørelse baseret på løsning af ligningen

(kA)X = E