Matematik

seperation af diffligning

25. marts 2006 af stumpL (Slettet)

dy/dx= ((2/x)-1)*y

hvordan ville I finde forskriften for f(x)??

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. marts 2006 af ibibib (Slettet)

1/y dy = (2/x-1) dx <=>
lny = 2lnx-x+k
osv.

Løsningen er
f(x) = x^2*e^(-x+k)

Svar #2
25. marts 2006 af stumpL (Slettet)

#1
hvordan finder du frem til den løsning?

Jeg har os fået 1/y dy = (2/x-1) dx til:
ln(y)=2ln(x)-x+k

k bestemmes: ln(6)=2ln(2)-x<=>k=1,405

y bestemmes: ln(y)=2ln(x)-x+1,405
y=e^2ln(x)-x+1,405

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. marts 2006 af piper (Slettet)

Seperation af de variable i en differentialligning bygger egentlig på simple regneregler. ibibib har bare givet dig et facit.

Først ganger du med dx på begge sider:

dy = ((2/x)-1)*y*dx

Så dividerer du med y på begge sider:

dy/y = ((2/x)-1)*dx

Så trækker du y ud under brøkstregen på venstre side og der fås endelig:

(1/y)*dy = ((2/x)-1)*dx

Det her er en fremgangsmåde, som faktisk gør sig gældende ret generelt. Det handler egentlig bare om regneregler du lærer i 1.g, så fat din bog og sæt dig ind i dem. Når du kender disse regler er det let.

Bagefter skal der bare integreres:

Et tip: Højre side kan omskrives til

2*(1/x)-1

Du kan slå op i din formelsamling hvad 1/x integreret er.

Brugbart svar (0)

Svar #4
25. marts 2006 af piper (Slettet)

Og endnu et tip: For at ophæve ln(y), så opløft begge sider i e. Altså:

e^ln(y) = y

Svar #5
25. marts 2006 af stumpL (Slettet)

#3
mange tak...

hvor i mine udregninger går det så galt?

S(1/y)dy = S((2/x)-1)dx
ln(y) = 2ln(x)-x+k
y = e^2ln(x)-x+k

Brugbart svar (0)

Svar #6
25. marts 2006 af piper (Slettet)

Jeg får løsningen:

y = e^(2ln(x)-x+k)

Den her er god nok:
ln(y) = 2ln(x)-x+k

Det udnyttes at e^ln(y) = y:
y = e^(2ln(x)-x+k)

Svar #7
25. marts 2006 af stumpL (Slettet)

#6
dvs. den løsning jeg fandt frem til, er god nok...?

Svar #8
25. marts 2006 af stumpL (Slettet)

så skal jeg finde maksimun for f.
hvordan gør jeg det?

Brugbart svar (0)

Svar #9
25. marts 2006 af piper (Slettet)

Jep.. jeg tænker din mening er god nok, men prøv at kigge på dit svar #5. Du har glemt at sætte parentes rundt om hele e's potens.

Du skriver:

y = e^(2ln(x)-x+k)

MEN mener (?):

y = e^(2ln(x)-x+k)

Ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #10
25. marts 2006 af ibibib (Slettet)

Din løsning er ikke forkert, men den er heller ikke reduceret tilstrækkeligt.

Brugbart svar (0)

Svar #11
25. marts 2006 af piper (Slettet)

Hvis du skal finde maksimum for f skal den skitseres og differentieres. I toppunktet er der vandret tangent. løs f differentieret lig 0 og bestemt den x-værdi der giver vandret tangent. Når du har denne indsætter du den i din oprindelige f-funktion og bestemmer den maksimale værdi, som x-værdien giver.

Det kræver altså bare, at du har en oplysning til i opgaven, som gør at du kan bestemme k. Det vil typisk være et punkt, som du har glemt at oplyse om herinde.

Svar #12
25. marts 2006 af stumpL (Slettet)

#9
ja, kan godt se at der skal en parentes rundt om hele e's potens.

Brugbart svar (0)

Svar #13
25. marts 2006 af piper (Slettet)

Skitseringen skal bruges til grafisk orientering. Nu bruger jeg selv MathCad, så det er meget let at skitsere. Det kan godt være der er flere toppunkter jo. Du skal have det der giver MAX værdi jo.

Brugbart svar (0)

Svar #14
25. marts 2006 af ibibib (Slettet)

Funktionen har ikke et maksimum.

Hvis du får oplyst at x>0 har funktionen et meaksimum i x=2

Sæt højre side i differentialligningen = 0, dvs.
(2/x-1)*y = 0 <=>
2/x-1 = 0 v y = 0
x = 2 v y = 0

Brugbart svar (0)

Svar #15
25. marts 2006 af piper (Slettet)

Angående svaret omkring reducering synes jeg ikke der er grund til at du går videre. Jeg foretrækker da personligt at have det hele opløftet i en potens :) Smagssag..

Brugbart svar (0)

Svar #16
25. marts 2006 af piper (Slettet)

Grunden til jeg siger som jeg gør er at jeg har mistanke til der er en ekstra information. I svar 2 ligner det du indsætter et punkt nemlig. Ellers giver det ingen mening, det du skriver.

Svar #17
25. marts 2006 af stumpL (Slettet)

så skal jeg benytte grafregneren til at løse uligheden f(x)>=3.

hvordan gør jeg det på lommeregneren?

Brugbart svar (0)

Svar #18
25. marts 2006 af ibibib (Slettet)

Funktionens (lokale) maksimum er uafhængig af k.
Se på differentialligningen, til venstre står f'(x) og det betyder at højresiden også er f'(x).
Man kan derfor finde maksimum som jeg viste i #14 og man slipper for at differentiere.

Svar #19
25. marts 2006 af stumpL (Slettet)

#16
grafen for f går gennem punkt (1;6).
Dette punkt bruger jeg for at finde k. idet jeg jo først skulle finde forskriften for f.

Brugbart svar (0)

Svar #20
25. marts 2006 af piper (Slettet)

Okay, så skal du bare have bestemt k ved insættelse af i f(x). Derefter er det bare en optimeringsopgave som forklaret.

Forrige 1 2 Næste

Der er 33 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.