Kvasikonkavitet

Jeg ved godt hvad det vil sige at en funktion er konkav, men kvasikonkav ... hmm. Kan du eventuelt fortælle mig hvad det betyder, for så kan jeg da godt forsøge at se på det.

Definition: En funktion f defineret over en konveks mængde S(indgår i)R^n er kvasikonkav hvis mængden P_a=(x(indgår i S): f(x)>=a) er konveks for ethvert tal a.

(x er en vektor).
Det er altså en bredere gruppe end bare rigtige konkave funktioner, men med nogle af de samme egenskaber.

#2:
Okay, der kan man bare se! Jeg prøver at kigge på det.

Tak for det!

#2:
Efter at have kigget lidt på det, slår det mig nu at definitionen om være det samme som følgende:

En funktion f:S-->R, hvor S er en delmængde af R^n, er kvasikonveks, såfremt

f(tx+(1-t)a) >= min{f(x),f(y)}

for alle x,y E R^n og alle t E [0,1].


Prøv at se om du kan vise dette for den givne funktion. I dit tilfælde er S = R [går jeg ud fra, medmindre andet da er oplyst i opgaveformuleringen] og n = 1, så du har en funktion f:R-->R.

Hint:
Start med at observer, at

-1

for alle x E R. Prøve at se om det kan hjælpe dig videre.

Ja, definition har jeg faktisk også i min bog. Imporende at du lige kunne gennemskue det synes jeg. Men jeg er lidt i vildrede. Hvad menes egentlig med min(f(x),f(y)). x,y og er vel bare vilkårlige vektorer, som vel kun har en funktionsværdi? Kan du hjælpe mig lidt længere på vej. Ville være lækkert hvis du endda ville lave opgaven, så jeg har en rettesnor for de 20 andre :)

#7:
Med min{f(x),f(x)} forstår blot minimum af f(x) og f(y); altså den mindste af de to værdier.
Eftersom n = 1, er vektorerne blot reelle tal i dette tilfælde.


Jeg har ikke selv regnet opgaven, men blot overvejet hvordan man formodentlig kan løse den. Prøv at find minimum for

f(tx+(1-t)a)

men hensyn til x og så vis, at for alle a E R og alle t E [0,1], da er denne minimumsværdi større end min{f(x),f(x)}.

For resten, så har jeg lige kigget lidt i en af mine bøger om lineær algebra, og der faldt jeg over et eksempel vedrørende Hesse-matricer, hvor de bruger en sådanne til at vise at en given funktion er kvasikonveks. Er du bekendt med Hesse-matricer? Hvis ikke, så bare glem ovenstående, så du ikke bliver forvirret. Prøv eventuelt at Google efter det, hvis det er.


Med hensyn til den anden definition, som jeg kom frem til, så brugte jeg såmænd blot definitionen på henholdsvis en konveks funktion og mængde.


Jeg bliver desværre nødt til at smutte nu, da jeg skal til familiefødselsdag resten af dagen ... gaaab! Håber du får løst opgaven.

Ja, mit problem er netop at metoden med hessematricen ikke giver nogen konklusion i dette tilfælde og at det er den eneste mekaniske måde jeg har lært til at løse sådanne opgaver. Det betyder at man skal tænke selv og det er jeg desværre meget dårlig til :)

Hessematricen kan i visse tilfælde anvendes til at afgøre om en funktion er konveks eller konkav. Det gælder, at f er konkav (konveks) hviss Hessematricen er negativt (positivt) semi-definit. Anvendelse af denne regel kræver dog naturligvis at f er differentiabel og det er ikke nødvendigvis tilfældet. Til eksempel er f(x)=|x| konveks men er ikke differentiabel i x=0.

Med hensyn til selve opgaven er det simplest blot at vise at enhver øvre niveaumængde er konveks, helt som definitionen siger. Så er f kvasikonkav.

Det fremgår som Dominik rigtigt påpger ikke hvad domænet er. Principielt kunne x jo godt være en vektor i et passende rum. Men som Dominik vil jeg også formode domænet er R. Så skal blot vises at enhver af mængderne

{x E R | f(x) >= a } for alle a E R

er konveks. Man ledes da til uligheden

-x²/(1+x²) >= a (*)

hvor a jvf. #6 kan restringeres til a E ]-1,0]. Løs (*) for ethvert a og argumenter for at samtlige løsningsmængder er konvekse.

Vink: I R er de eneste konvekse mængder netop intervaller.

Man skal i øvrigt passe på med forhastede konklusioner når man arbejder med sådanne funktioner. Det gælder ganske vist, at enhver konkav funktion også er kvasikonkav. Men der findes funktioner, der er hverken konkave eller konvekse, og dog kvasikonkave. Der findes sågar konvekse funktioner, der er kvasikonkave [f.eks. f(x,y) = exp(x+y)].

Det foresvæver mig iøvrigt at kvasikonkave og kvasikonvekse funktioner er repræsentationer til loven om aftagende [marginal] nytte i økonomi, men der er vi ude i periferien af min hukommelse.

Jeg tror det er tilstrekkelig at vise at den 1.deriverte er positiv og den 2.deriverte er negativ. Deriverer du igjennom vil du se at det er den for x>0.5.