Additionsformlerne (I) og (II)

Hvor i beviserne er det kæden hopper af?

#0:
Okay, jeg kan give et par hint:

1) Brug Eulers formel med kompleks eksponentialfunktion.
2) To (eller flere) komplekse tal er ens når måde real- og imaginærdelen er ens.

#2:
Hmm ... 2) kan misforstås. Jeg prøver igen:

Komplekse tal er ens, når både realdelen er den samme for alle tallene og imaginærdelen er ens for alle tallene.

Tja, nu har jeg siddet og kigget på det, og konkluderet med mig selv at jeg simpelthen bare mangler en dybere forklaring end hvad bogen fortæller mig.
Det er meget fint at dette forløb beskrives, men hvis jeg skal have mulighed for at forklare en klasse hvorfor alt dette forekommer. Så skal jeg selv have en god forklaring:)

Jeg har her skrevet hvad bogen forklare mig, men jeg vil godt kunne genfortælle hvad der sker..men hvis nogle spørger mig hvorfor det er at man gør dette så ville jeg ikke have en chance:

Vinklen mellem disse vektorer
(OP=(cosu,sinu)og OQ=(cosv,sinv))
er u-v, og benytter vi formlen for cosinus til en vinkel mellem to vektorer, fås

cos(u-v)= OP*OQ/|OP|*|OQ|

Heri indsætter vi vektorernes koordinater og benytter, at deres længder er 1, og får så:

cos(u-v)= cosu*cosv+sinu*sinv

Denne formel gælder for alle vinkler u og v. Vi erstatter v med -v og får:

cos(u(-v)) = cosu*cos(-v)+sinu*sin(-v)

<=>

cos(u+v)= cosu*cosv - sinu*sinv

fordi

cos(-v)= cos og sin(-v)= -sinv

#4:
Hvad er det så du gerne vil have uddybet? Det bliver du jo nødt til at fortælle mig, hvis jeg skal hjælpe.


Ved brug af det jeg foreslog i #1, kan det gøres ganske hurtigt:

cos(u+v) + i*sin(u+v)
= exp(i(u+v))
= exp(iu)*exp(iv)
= (cos(u)+i*sin(u))*(cos(v)+i*sin(v))
= (cos(u)cos(v)-sin(u)sin(v)) + i(sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v))

Hvor jeg ved første lighedstegn bruger Eulers formel.
Ved andet lighedstegn bruger jeg, at exp(a+b)=exp(a)exp(b).
Ved tredje lighedstegn bruger jeg igen Eulers formel.
Til sidst ganger jeg parenteserne ud og bruger, at i²=-1.

#5.
Det er dog ikke særlig realistisk at forvente, at man har behandlet den komplekse eksponentialfunktion, så noget andet er nødvendigt, hvis det skal relatere til kernestof på det gymnasiale A-niveau.

#6:
Vi havde om komplekse tal i 3.g, men kan da godt ske at det var som valgfrit emne, det skal jeg ikke kunne sige.

Måske skulle jeg udtrykke mig bedre så:)
Det jeg har brug for er en mere pædagorisk forklaring af dette bevis, så det er muligt at fremlægge det på en tarvle og samtidig selv forstå det.
Det vil sige at jeg mangler en forklaring af beviset hvor en fyldest gørende skriftlig forklaring indgår løbende igennem.

vi har ikke arbejdet med den komplekse eksponentialfunktion nej.
Det jeg er blevet bedt om er at forklare beviset for henholdvis Additionsformlerne (I) og (II) udfra det som står i vores bog(komplekse tal af Jens carstensen).. Så for at citere bogen:

For de trigonometriske funktioner sin og cos gælder formelerne:

cos(u+v)=cosu*cosv-sinu*sinv
sin(u+v)=sinu*cosv+sinv*cosu

Vi ser på fig.4, hvor P og Q på enhedscirklen er retningspunkter for vinklerne u og v. koordinaterne til stedvektorerne til P og Q er så:

OP=(cosu,sinu)og OQ=(cosv,sinv

Vinklen mellem disse vektorer er u-v, og benytter vi formlen for cosinus til en vinkel mellem to vektorer, fås

cos(u-v)= OP*OQ/|OP|*|OQ|

Heri indsætter vi vektorernes koordinater og benytter, at deres længder er 1, og får så:

cos(u-v)= cosu*cosv+sinu*sinv

Denne formel gælder for alle vinkler u og v. Vi erstatter v med -v og får:

cos(u(-v)) = cosu*cos(-v)+sinu*sin(-v)

<=>

cos(u+v)= cosu*cosv - sinu*sinv

fordi

cos(-v)= cos og sin(-v)= -sinv

II. I formelen for cos(u-v) erstattes u med 90-u, så den får udseendet:

cos(90-u-v)=cos(90-u)*cosv+sin(90-u)sinv
<=>
cos(90-(u+v))=cos(90-u)*cos+sin(90-u)sinv

nu bruger vi, at

cos(90-x)=sinx og sin(90-x)=cosx

så ligningen kan omskrives til

sin(u+v)= sinu*cosv+cosu*sinv

Håber ikke det er en for uoverskuelig opgave..men tak i hvert fald!!

#8:
Det har du allerede skrevet i #4, men jeg spørger om hvilke dele beviset det er du gerne vil have forklaret anderledes? Jeg går ikke ud fra at du er helt blank hele vejen igennem, for så får jeg vist svært ved at hjælpe dig.

Vi fik engang udleveret nogle noter af vores matematiklærer i gymnasiet, som blandt andet gav et lignende bevis for additionsformlerne. Hvis du sender mig en mail, kan jeg godt sende dig disse noter.

Hehe dog ikke nej. Men det er os lidt svært lige at forklare hvad det præcis er..men det ku være lækkert hvis du vil sende noterne. Min mail er: [email protected]

tak for hjælpen!!