Matematik

Hjælp til dist.

24. maj 2006 af kim19 (Slettet)

Når man skal bevis dist.

lax1+b-y1
---------
kvadratroden af
1+a^2

jeg er nået et stykke ned i den og går så i stå en der kan hjælpe.

jeg har af BC = kvadratroden af 1+a^2

og

PB = a*x1+b-y1

hvordan får jeg det sat sammen så det giver den ønskede formel ?

er i tvivl om hvad jeg gør håber en kan hjælpe

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. maj 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

Jeg forstår desværre intet af hvad du mener med følgende:

lax1+b-y1
---------
kvadratroden af
1+a^2

Og hvad er ``dist''?

Brugbart svar (0)

Svar #2
24. maj 2006 af Romulus (Slettet)

Jeg kan lige akkurat overskue, at det er punkt-linje-afstandsformlen, men kan kun være enig med #1 i, at det er uhensigtsmæssig notation.

Svar #3
24. maj 2006 af kim19 (Slettet)

Undskyld. ja det er afstandsformlen

kan i hjælpe ?

Brugbart svar (0)

Svar #4
24. maj 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

#3:
Stadigvæk: Hvad betyder det du skriver? Jeg forstår simpelthen ikke noget som helst af notationen.

Svar #5
24. maj 2006 af kim19 (Slettet)

altså beviset for afstandsformlen, kender du afstandsformlen ?

Brugbart svar (0)

Svar #6
24. maj 2006 af sigmund (Slettet)

#4,

Nu må du ikke gøre dig så umulig! Der står (eller skulle stå)

|ax1 + by1 - y1|/(1+a²)^(1/2).

Brugbart svar (0)

Svar #7
24. maj 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

#6:
Det var som ikke for at virke umulig, men jeg kunne vitterligt ikke tyde det! Desuden er jeg også træt af at spilde en masse tid på at gætte forkert på hvad folk mener.

#0:
Nu mangler jeg bare at vide, at B, C og P er.

Svar #8
24. maj 2006 af kim19 (Slettet)

Man skal finde den korteste afsted fra et punkt til en linje.

og der bruger man den her

ax1+b-y1
---------
kvadratroden af
1+a^2

og det er beviset for den jeg er igang med.

Brugbart svar (0)

Svar #9
24. maj 2006 af sigmund (Slettet)

Tilføjelse til #6:

Jeg kunne spørge den oprindelige spørgsmålsstiller, om formlen er skrevet korrekt op. På

http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance2-Dimensional.html

er den givet på en anden form.

(Er det ikke afstanden fra punkt til linje, vi taler om?)

Brugbart svar (0)

Svar #10
24. maj 2006 af allan_sim

#9.
Afstandsformlen er korrekt i ovenstående form, bortset fra, at der skal numerisktegn om tælleren.

Svar #11
24. maj 2006 af kim19 (Slettet)

ja sorry det manglede jeg de numerisktegn om tælleren, men jo det er afstandformlen det er vel det samme som afstanden fra punkt til linje. ik

Brugbart svar (0)

Svar #12
24. maj 2006 af sigmund (Slettet)

Nå, men det var det bevis, du ville have hjælp med. Skriv hvad du har gjort, så kan vi se på det.

Brugbart svar (0)

Svar #13
24. maj 2006 af Sansnom (Slettet)

Se på figuren her: http://home1.stofanet.dk/janbs/distformel.jpg

Du lader til at have vist, at
|PQ|= lax1+b-y1|
|AB|=sqrt(a^2+1)
Du siger godt nok |BC|, så måske din figur bruger lidt andre betegnelse.

Du skal nu vise, at de to trekanter, ABC og PQR, er ensvinklede. Umiddelbart ses, at de begge har en ret vinkel. Vha at topvinkler er ens, ses desuden at vB = vQ.

Da de to trekanter er ensvinkelede er
d/1 = |PQ| / |AB|
hvilket netop giver det, du skulle frem til.

Brugbart svar (0)

Svar #14
24. maj 2006 af mathon

linjen
l: ax-y+b=0 (eller y=ax+b),
har retningsvektor [1,a]og dermed -[-a,1]=
vektor_n=[a,-1] som normalvektor.

I et fikspunkt på l, Po(xo,yo), tegnes en normalvektorrepræsentant.

Du udvælger et vilkårligt variabelt punkt, P(x,y). Vektor_PoP har koordinaterne [x-xo,y-yo].

Skalarproduktet mellem vektor_n og vektor_PoP er lig med længden af vektor_PoP's projektion på vektor_n ganget med længden af vektor_n.

Længden af vektor_PoP's projektion på vektor_n er lige netop punktet P's vinkelrette - og dermed korteste - afstand til linjen l.

Skalarproduktet n.PoP (prikproduktet) er altså lige nøjagtigt faktor |n| gange for stort, sammenlignet med dist(l,P), som ønskes fundet. Dette klares naturligvis ved at dividere n.PoP med |n|. Det skal tilføjes, at n.PoP >0, når P ligger i den halvplan i forhold til linjen, som vektor_n peger ind i og n.PoP
Følgelig er
dist(l,P)=n.PoP/|n|
eller [a,-1].[x-xo,y-yo]/sqrt(1+a^2)
dist(l,P)=(ax-y+(yo-a*xo)/sqrt(1+a^2) eller
dist(l,P)=(ax-y+b)/sqrt(1+a^2), hvor
b=(yo-a*xo)

Ønskes kun numerisk afstandsberegning, kan formlen tillempes
dist(l,P)=(ax-y+b)/(±sqrt(1+a^2)),
hvor "+"'et anvendes, når tælleren er positiv og "-"'et anvendes, når tælleren er negativ.

Bliver tælleren 0, betyder det blot, at punktet er beliggende på linjen l, (skalarproduktet mellem vektor_n og vektor_PoP er 0 som følge af ortogonaliteten).

Svar #15
24. maj 2006 af kim19 (Slettet)

Det vil sige i mit tilfælde når jeg har fundet frem til dette her

BC = kvadratroden af 1+a^2

og

PB = a*x1+b-y1

så dividere jeg dem og så har det resultatet

ax1+b-y1
---------
kvadratroden af
1+a^2

(kan ikke lige finde ud af hvor jeg sætter numerisktegn om tælleren) sorry

Brugbart svar (0)

Svar #16
24. maj 2006 af Sansnom (Slettet)

#15,

Ja, hvis du ved hjælp af din figur har forklaret, hvorfor d=|PB| / |BC|.

Mht den nummeriske værdi er det også den mest tricky del af beviset.

Du siger sikkert nok i stil med, at afstanden fra P til B er forskellen med 2 y-værdier, lad os sige y2-y1.

Men, derved risikerer du jo at få en negativ afstand, hvis punktet P ligger under linien l. Derfor er afstanden fra P til B den nummeriske værdi af y2-y1.

Svar #17
24. maj 2006 af kim19 (Slettet)

tak

Skriv et svar til: Hjælp til dist.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.