Matematik

Integral og differentialregning

04. juni 2006 af MrT-327 (Slettet)

(Prøver igen..) håber lidt at der er nogen der lige kan opklare nogle spørgsmål for mig: Hvad vil det sige at en funktion er hhv. integrabel og differentiabel? Hvad skal funktionen opfylde for at være det? og kunne nogen eventuelt forklare mig hvad integralregningens middelværdisætning konkret siger?

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. juni 2006 af Waterhouse (Slettet)

En funktion f er differentiabel i et punkt a, hvor a E Dm(f), hvis differenskvotienten

[f(x)-f(a)]/[x-a] har en grænseværdi for x gående mod a.

Man kalder så selve funktionen differentiabel hvis dette gælder for alle værdier i definitionsmængden. Det følger af definitionen, at en differentiabel funktion også må være kontinuert (men man kan ikke gå den anden vej, der findes kontinuerte ikkedifferentiable funktioner).

Er ikke sikker på den præcise definition på integrabilitet, men man kan vise, at alle kontinuerte funktioner i hvert fald har en stamfunktion.

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. juni 2006 af Sansnom (Slettet)

Definition på at være differentiable:

lim h->0 (f(x+h)-f(x))/h skal eksistere for alle x i dm(f).

I lægmands tale skal grafen for funktionen være sammenhængende (kontinuert) og "glat" (dvs, uden knæk).

Integrabilitet er knap så let, bl.a. fordi der findes flere forskellige definitioner.

Den man normal støder på i gymnasiet er nok:

"En begrænset funktion y=f(x), a

Om det er den præcise definition I har arbejdet med, er du nok nød til at kigge i din bog efter.

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. juni 2006 af Sansnom (Slettet)

Ærkeeksemplet på en funktion, der ikke er integralet er så

f(x) = 0, hvis x er rationel
f(x) = 1, hvis x er irrationel

Enhver undersum på intervallet [0;1] er så (højst) 0, mens enhver oversum er (mindst) 1. Dermed findes ikke _netop_ et tal A, der adskiller oversummer fra undersummer.

Brugbart svar (0)

Svar #4
04. juni 2006 af Waterhouse (Slettet)

#2+3: Kender du egentlig grunden til, at nogle læreboøger foretrækker

[f(x)-f(a)]/[x-a] for x->a

og andre

(f(x+h)-f(x))/h for h->0?

Og er de fuldstændig ækvivalente, eller er den ene form mere "rigtig" end den anden?

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. juni 2006 af Sansnom (Slettet)

Nej, jeg kender ikke grunden til denne forskel, men de er absolut ækvivalente, så den betyder nu heller ikke noget.

Derudover bruger nogle bøger "3-trinsregel" (funktionstilvækst, differenskvotient og differentialkvotient), mens andre undgår de to første udtryk, men holder sig til sekant- og tangenthældning.

Igen, begge dele virker, og har samme betydning.

Skriv et svar til: Integral og differentialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.