Matematik

Irrationaliteten af...

05. juni 2006 af Amigo (Slettet)

Hej folkens.

http://da.wikipedia.org/wiki/Irrationale_tal

Jeg forsøger fuldstændigt at forstå beviset, der føres omhandlende irrationaliteten af kvadratroden af 2. Jeg synes, det går glidende i den første del af beviset, men jeg kan ikke forstå den sidste halvdel. Er der nogen, der har tid og lyst til at forklare beviset på en måskel lidt mere struktureret, systematisk og forståelig måde?

På forhånd tak.

Amigo

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. juni 2006 af allan_sim

#0.
Hvor er det, der går galt i forståelsen?

Brugbart svar (0)

Svar #2
05. juni 2006 af Waterhouse (Slettet)

Beviset er det man kalder en modstridsbevis - vi antager altså det modsatte af hvad vi gerne vil bevise, og viser at dette fører til en modstrid.

Her antager vi altså, at vi kan skrive sqrt(2)=p/q, hvor vi antager at brøken er forkortet maksimalt. Det gælder så:

sqrt(2)=p/q <=>
2 = p^2/q^2 <=>
2*q^2 = p^2 (*)<=>

p^2 er lige (idet ethvert lige tal kan skrives som 2*n) <=>

p er lige (i det kun lige tal kvadreret giver lige tal).

Vi indfører nu et nyt tal, p1, der er defineret som p=2*p1. Dette indsætter vi i (*):

2*q^2=(2*p1)^2 <=>
2*q^2=4*p1^2 <=>
q^2=2*p1^2 <=>

q^2 er lige (idet ethvert lige tal kan skrives som 2*n) <=>

q er lige (samme begrundelse som før)

Vi har nu vist, at både p og q er lige. Altså kan brøken p/q forkortes med 2. Men hov! Det strider mod vores antagelse om, at sqrt(2) kan skrives som en uforkortelig brøk p/q. Altså må det omvendte være sandt, netop at sqrt(2) IKKE kan skrives som en brøk og ikke er rationel.

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. juni 2006 af SattaMassaGanna (Slettet)

#2

Der er en lille argumentations"fejl"

Du skriver, at " q^2 er lige (idet ethvert lige tal kan skrives som 2*n)"
og det er da også rigtigt, men det afgørende her er, at der gælder den modsatte vej også! Nemlig at ethvert tal der kan skrives som 2*n ER lige! For ellers kunne vi jo ikke konkludere at q^2 var lige.

Brugbart svar (0)

Svar #4
05. juni 2006 af sigmund (Slettet)

Sammenfattende kan vis sige: Et tal n er lige hvis og kun hvis det kan skrives som 2*n (måske kunne vi "udvide" sætningen således, at der gjaldt 2^k*n, hvor k E N).

Svar #5
05. juni 2006 af Amigo (Slettet)

#2:

Mange tak - det lader til, det er noget, du har forsøgt før. Det ser godt og detaljeret ud, men det forvirrer mig lidt, at det står med de tegn, som det gør - altså eksempelvis kvadratrodstegnet, som er lidt forvirrende. Jeg ved godt, det er meget at spørge om, men hvis du før har udført beviset i fx equation, vil du så ikke sende det til min mail - [email protected]?

Vh
Amigo

Svar #6
05. juni 2006 af Amigo (Slettet)

"p^2 er lige (idet ethvert lige tal kan skrives som 2*n)"

Lige et spørgsmål til ovenstående: Du har konsekvent erstattet m og n med p og q - hvad mener du så med 2*n?

Svar #7
05. juni 2006 af Amigo (Slettet)

q^2 er lige (idet ethvert lige tal kan skrives som 2*n) <=>

q er lige (samme begrundelse som før)

Og mener du q i begge tilfælde?

Brugbart svar (0)

Svar #8
05. juni 2006 af Waterhouse (Slettet)

Jeg har ikke lavet det i Equation, og eksamenspresset er lidt for stort til at jeg kan nå at sætte det op, desværre. :)

Ang. bogstavvalg bruger jeg bare standardsymbolerne - p og q er to vilkårlige tal, hvor q er forskellig fra 0. Der kunne ligeså godt have stået m og n, ofte bruger man bare netop p og q, når man definerer de rationale tal.

n er et vilkårligt naturligt tal - med "idet ethvert lige tal kan skrives som 2*n" mener jeg bare, at alle lige tal kan skrives som 2 gange et bestemt naturligt tal. (Husk iøvrigt #3's korrektion, hvis du vil have argumenatationen helt vandtæt)

Jeg mener q i begge tilfælde, men det er så at sige ikke det samme n - har vi fundet en eller anden værdi for n, hvorom det gælder at 2*n=p^2, er det ikke den samme værdi for n vi skal indsætte i 2*n=q^2, bare et andet naturligt tal.

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. juni 2006 af allan_sim

#8.
Så skal jeg komme dig til hjælp.

"Oversættelse" er her:

http://peecee.dk/?id=42490

Svar #10
05. juni 2006 af Amigo (Slettet)

Jeg må tilstå, at mine forståelsesvanskelligheder ligger i følgende:

q^2 er lige (idet ethvert lige tal kan skrives som 2*n)

Jeg kan ikke se sammenhængen i, at q^2 er lige, idet ethvert lige tal kan skrives som 2*n.

Vil du skære det ud i pap for mig? :)

Brugbart svar (0)

Svar #11
05. juni 2006 af Waterhouse (Slettet)

Du skal også have linjen ovenover med, hvis det skal give mening:

q^2=2*p1^2 <=>

q^2 er lige (idet ethvert lige tal kan skrives som 2*n) <=>

I første linje ser vi altså, at q^2 kan skrives som _et eller andet_ tal ganget med 2. I dette tilfælde er dette tal p1^2, men det er som sådan uvigtigt.

Brugbart svar (0)

Svar #12
05. juni 2006 af allan_sim

#10.
I argumentet står, at

q²=2*p1²

Altså er q² skrevet som et tal ganget med 2. Det tal der er ganget med 2, er så p1².

Derfor må q² være lige, fordi ethvert tal på formen 2*"et tal" er lige.

Svar #13
05. juni 2006 af Amigo (Slettet)

Du mener vel ikke "et tal", men et "helt tal"?

Jeg ved ikke, om det skyldes, at klokken er ved at være mange, men jeg kan simpelthen ikke forstå logikken i:

Altså er q² skrevet som et tal ganget med 2. Det tal der er ganget med 2, er så p1².

Derfor må q² være lige, fordi ethvert tal på formen 2*"et tal" er lige.

Måske bør jeg se på det i morgen.

Brugbart svar (0)

Svar #14
05. juni 2006 af Waterhouse (Slettet)

Jo, det skal naturligvis være et helt tal, for at argumentet gælder.

Brugbart svar (0)

Svar #15
05. juni 2006 af allan_sim

#13.
Ja, jeg mener et helt tal.

Er du med på, at p1² er helt tal?
Og er du med på, at ethvert lige tal er på formen 2*n, hvor n er et helt tal?

Svar #16
06. juni 2006 af Amigo (Slettet)

Jeg er tilsyneladende meget forvirret. Er der en, der er villig til at give mig sin msn - det går lidt hurtigere, og så kan vi forhåbentligt få rodet bod på min uforståelighed hurtigere?

Vh
Amigo

Skriv et svar til: Irrationaliteten af...

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.