Matematik

Kontinuitet og integralregning

16. juni 2006 af Kraken (Slettet)

Har et spørgsmål angående sammenhængen mellem kontinuerte funktioner og diverse beviser i integralregning.

I de fleste sætninger angående sammenhæng mellem integrale og stamfunktion, f.eks. sætningerne om areal under graf eller om substitutionsmetoden, står der altid som forudsætning at: "Funktionen f er kontinuert i et lukket interval I=[a;b]"
Har også set formuleringen: "Funktionen g er kontinuert i I=[a;b] og derved nedadtil begrænset".

Men hvad skal dette bruges til i beviserne og hvad betyder det helt præcist. Er det blot fordi at en kontinuert funktion også er integrabel, at de nævner det hele tiden eller hvad? (og betyder integrabel så at man kan bruge integraletegnet?)

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. juni 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

Funktioner som er kontinuerte på et lukket og begrænset interval er integrable; det vil sige, at de i det hele taget kan integreres. Dette hører under den gren af matematikken, som kaldes analyse.

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. juni 2006 af hel_bin (Slettet)

Til #1 : Jeg har også tænkt på det samme.
En funktion er kun integrabel, hvis den er kontinuert. Er der fordi man ikke kan tage arealet af en stykkevis lineær funktion?

Og når man bruger ordet "defineret" er det det samme som afgrænset?

Når man så har et ubestemt integral, er intervallet stadig lukket, som det er ved bestemt integral. Hvordan kan det være? Et ubestemt integral har jo ingen endepunkter.

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. juni 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

#2:
For det første så er kontinuitet faktisk ikke et krav for at en funktion er integrabel, men det er en tilstrækkelig egenskab, såfremt funktionen er defineret på et lukket og begrænset interval. Eksempelvis er monotont funktioner integrable, og disse behøver jo ikke at se kontinuerte.

Når man siger at en funktion er ``defineret på et interval, I'', så betyder det at definitionsmængden for funktionen er I. Så nej, ``defineret'' og ``afgrænset'' er ikke det samme.

Jeg forstår slet ikke hvad du mener med at intervallet for et ubestemt integral er lukket. Umiddelbart giver det ikke nogen mening.

Svar #4
16. juni 2006 af Kraken (Slettet)

Så når man skal visen en sætning indenfor integralregning, og der i sætningen forudsættes at funktionen er kontinuert, så skal dette bruges som argument for at funktionen er integrabel, hvorved man kan integrere den, finde arealet under den osv...

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. juni 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

#3:
rettelser:

monotont --> monotone
se kontinuerte --> være kontinuerte

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. juni 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

#4:
Ja, når man i sådanne sætninger forudsætter at en funktion er kontinuert, så er det (som oftest) for at sikre at den er integrabel.

Skriv et svar til: Kontinuitet og integralregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.