Matematik

Bevis for løsningsformel til andengradsligninger

19. juni 2006 af NV (Slettet)

Hej, er ved at gennemgå beviset for løsningsformlen for andengradsligning, men der er nogle ting jeg ikke helt forstår. Håber meget at der er nogen der vil hjælpe for skal op på onsdag.

ax^2+bx+c=0 <=> x^2+(b/a)*x+c/a=0

(x+(1/2)*(b/a))^2-((1/2)*(b/a))^2+c/a=0

(x+b/(2a))^2=(b/(2a))^2-c/a

(x+b/(2a))^2=b^2/(4a)^2-c/a

(x+b/(2a))^2=b^2/(4a)^2-(4ac)/(4a)^2

(x+b/(2a))^2=d/(4a)^2

Her kommer så min spørgsmål:

1)
Linje 1: Hvorfor divideres ligningen igennem med a?

2)
Linje 5: I det sidste led: Hvordan kommer 4c ind i tælleren og hvordan kommer 4 og ^2 ind i nævneren

3)
Linje 6: I det sidste led: Her er jeg helt væk. Kan ikke helt se hvad det er der sker.

4)
Hvilke regneregler bruges der i dette bevis? Er det ikke noget med nogle parentesregneregler?

Håber virkelig nogen vil hjælpe mig:)

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. juni 2006 af Benjamin. (Slettet)

ax² + bx + c = 0
<=> x² + bx/a + c/a = 0
(der divideres med a for at næste trin skal kunne gøres - dette må gøres, da a!=0)
<=> (x + b/(2a))² - (b/(2a))² + c/a = 0
(man kvadratkompletterer; dvs. danner et kvadrat på en toleddet sum. Ligesom (a+b)². Her bliver kvadrattet på andet led i overskud, derfor trækker man det fra)
<=> (x + b/(2a))² = (b/(2a))² - c/a
(alt andet end kvadrattet flyttes over på den anden side)
<=> (x + b/(2a))² = b²/(4a²) - c/a
(parentesen på højresiden regnes ud)
<=> (x + b/(2a))² = b²/(4a²) - 4ac/(4a²)
(c/a forlænges med 4a for at de to brøker for fællesnævner)
<=> (x + b/(2a))² = d/(4a²)
(den ene brøk trækkes fra den anden, d står i nævneren; d = b² - 4ac)
<=> x = (b±sqrt(d))/(2a)
(x isoleres: først tager du kvadratroden på begge sider; husk, tager man roden af en brøk, er det både i tæller og i nævner. (4a²)=(2a)², hvilket betyder at du tager kvadratroden af (2a)². Derefter trækker du b/2a fra og da de to brøker har fællesnævner, kan du trække dem fra hinanden)

Der bruges en masse regneregler for potenser, rødder. Der bruges en kvadratregel.
Jeg vil dog foreslå dig, at du lærer et andet bevis.

Svar #2
19. juni 2006 af NV (Slettet)

#2

Mange tak for hjælpen:)

Vil du evt., hvis du har tid og hvis du gider, skrive i hvilke linjer der bruges hvilke regler?

Hvilket andet bevis er det, du synes jeg skal lære ?

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. juni 2006 af Benjamin. (Slettet)

Du bruger kvadratregelen:
a² + b² + 2ab = (a + b)²
i linje 2
Du bruger en regneregel for potenser og rødder i linje 4 og 7.

ax² + bx + c = 0
(d = b² - 4ac)
<=> 4a²x² + 4abx + 4ac = 0
(der ganges med 4a; husk a!=0)
<=> 4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac
(b² lægges til 4ac trækkes fra)
<=> (2ax + b)² = d
(kvadratregelen: a² + b² + 2ab = (a + b)² bruges og højresiden omskrives til d)
<=> 2ax + b = ±sqrt(d)
(kvadratroden tages på begge sider, se dit andet indlæg for yderligere begrundelse)
<=> x = (b±sqrt(d))/(2a)

Svar #4
20. juni 2006 af NV (Slettet)

E rlidt i tvivl om, man kommer fra linje 2 til 3 (se #0)? Hvordan forsvinder 1/2??

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. juni 2006 af Benjamin. (Slettet)

#4 Gang tæller med tæller og nævner med nævner.

Svar #6
20. juni 2006 af NV (Slettet)

#5

Er ikke helt med..Altså der hvor der står 1/2?
Så det bliver 1*1 og 2*2?? Eller hvordan?

#3

Hvilken potensregneregel er det der bruges i linje 4.

(a/b)^p=a^p/b^p

eller

(a/b)^r=a^r/b^r

Vil tror det er den første ??

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. juni 2006 af Benjamin. (Slettet)

#6 Nej. Du ganger tæller med tæller og nævner med nævner. Dvs.:
½·(b/a) = b/(2a)

Det er samme potensregneregel du skriver, men ja, det er den.

Svar #8
20. juni 2006 af NV (Slettet)

#7

Er der ikke forskel på om man skrive ^r eller ^p ?

Og hvad reelle tal? Kan de fx være negative?

Brugbart svar (0)

Svar #9
20. juni 2006 af Benjamin. (Slettet)

#8 Der er ingen forskel. Det er jo begge ubekendte.
Kun reelle tal.

Svar #10
20. juni 2006 af NV (Slettet)

Jamen p = hele tal, ikke ? Så er der da også en forskel, eller ?

Brugbart svar (0)

Svar #11
20. juni 2006 af Benjamin. (Slettet)

#10 Hvis det er sådan, du ser det, så ja, så er der da forskel. Men regelen gælder for alle reelle tal af r, p, eller hvad det ellers måtte være.
p betyder ikke nødvendigvis hele tal. Man plejer at skrive at Z er de hele tal.
Du bruger her regelen, hvor p E Z, hvilket vil sige at a og b kan være positive som negative, men husk b!=0.

Brugbart svar (0)

Svar #12
20. juni 2006 af Benjamin. (Slettet)

#11 Dvs. i den egentlige sammenhæng gælder a!=0, som var bestemt fra start.

Svar #13
20. juni 2006 af NV (Slettet)

#11

okay, vi har bare lært at står der

(a/b)^p=a^p/b^p

Er p = hele tal

og står der

(a/b)^r=a^r/b^r

er r = reelle tal.

Så efter hvad vi har lært skal jeg bruge den sidste hvor eksponenten er et reelt tal, ikke ?

Brugbart svar (0)

Svar #14
20. juni 2006 af Benjamin. (Slettet)

#13 Det svarede jeg på i #11. Du skal bruge den første, hvor p E Z. Z er de hele tal. Grunden til at du skal bruge denne regel er at du allerede har fået givet ², som er et helt tal. Hvis r E R, må a og b kun være positive reelle tal og a må desuden være 0, hvis udtrykket skal tilhøre de reelle tal

Skriv et svar til: Bevis for løsningsformel til andengradsligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.