Matematik
Integraler
02. februar 2004 af
msoe (Slettet)
Hejsa! Har et par opgaver, som jeg håber nogle vil hjælpe mig med...
1. Jeg skal bestemme det bestemte integral for (x+1-1/(x+1)-2ln(x+1)) fra 0 til 1
Har valgt at "dele" den op i to stykker:
Først bestemmer jeg det ubestemte integral, og har fået det til:
0,5x^2+x-ln(x+1)-(2x-2)·(-2ln(x+1))
men det er vist ikke helt korrekt... Hvad har jeg gjort forkert??
2. En funktion er bestemt ved f(x)=1-2cosx, hvor x=]-pi,pi[. Bestem de to stamfunktioner til f, hvis grafer har førsteaksen som tangent.
Først har jeg bestemt F(x)=x-2sinx+k
Så har jeg sat F'(x)=0 og fået x=pi/3
Derefter har jeg beregnet k ved at sætte
0=(pi/3)-2sin(pi/3)+k og fået k=-(pi/3)+kvadartroden af 3
Men når jeg sætter det ind i graftegneren er det kun
F(x)=x-sinx-(pi/3)+kvadratroden af 3
der virker.
Men sætter jeg k=-kvadratroden af 3, er det forkert.
Hvad har jeg (nu) gjort forkert?
3. Så skal jeg løse ligningen:
det bestemte integral fra -2 til t for (t^2-2)=0
Har brug for lidt hjælp med at komme igang...
Og sidst, men ikke mindst:
4. En funktion f er for positive tal x bestemt ved
f(x)= det bestemte integral fra 1 til t af 1/t^2
Beregn f(3)
Bestem lim f(x) for x gående mod uendelig
Har brug for et lille hint...
Håber der er nogle, der vil hjælpe mig... Ved godt der er mange spørgsmål :(
På forhånd tak
Maria
1. Jeg skal bestemme det bestemte integral for (x+1-1/(x+1)-2ln(x+1)) fra 0 til 1
Har valgt at "dele" den op i to stykker:
Først bestemmer jeg det ubestemte integral, og har fået det til:
0,5x^2+x-ln(x+1)-(2x-2)·(-2ln(x+1))
men det er vist ikke helt korrekt... Hvad har jeg gjort forkert??
2. En funktion er bestemt ved f(x)=1-2cosx, hvor x=]-pi,pi[. Bestem de to stamfunktioner til f, hvis grafer har førsteaksen som tangent.
Først har jeg bestemt F(x)=x-2sinx+k
Så har jeg sat F'(x)=0 og fået x=pi/3
Derefter har jeg beregnet k ved at sætte
0=(pi/3)-2sin(pi/3)+k og fået k=-(pi/3)+kvadartroden af 3
Men når jeg sætter det ind i graftegneren er det kun
F(x)=x-sinx-(pi/3)+kvadratroden af 3
der virker.
Men sætter jeg k=-kvadratroden af 3, er det forkert.
Hvad har jeg (nu) gjort forkert?
3. Så skal jeg løse ligningen:
det bestemte integral fra -2 til t for (t^2-2)=0
Har brug for lidt hjælp med at komme igang...
Og sidst, men ikke mindst:
4. En funktion f er for positive tal x bestemt ved
f(x)= det bestemte integral fra 1 til t af 1/t^2
Beregn f(3)
Bestem lim f(x) for x gående mod uendelig
Har brug for et lille hint...
Håber der er nogle, der vil hjælpe mig... Ved godt der er mange spørgsmål :(
På forhånd tak
Maria
Svar #1
02. februar 2004 af Brian (Slettet)
1. Prøv at differentiere det du selv har regnet ud. På en eller anden måde har du fået et 2-tal for meget med i sidste led - de første led er OK.
2. Du må have tastet forkert i den grafregner? - dine udregninger ser OK ud! Du har vel ikke overset, at F'(x) f(x)? -pi/3 er også en løsning.
3. Der forekommer her en dobbelt betydning af bogstaet t, som jeg vil tro forvirrer dig. Kald funktionen for f. Så har du fået opgivet, at f(t) = t^2-2, og den skal du integrere. Men angivelsen af f kan jo være ligeså god, selv om du kaldte den varable for s:
f(s) = s^2 - 2
for angivelsen af f går alene ud på at beskrive hvad f skal gøre ved en variabel - hvad denne kaldes kan være ligemeget for beskrivelsen.
En stamfunktion hertil finder du let selv, kald den for F(s).
Du er blevet bedt om at lave noget på det bestemte indtegral af f fra -2 til t - her dukker den anden brug af bogstavet t op. Men det bestemte integral du søger er jo bare
F(t) - F(-2) = ...
Dette udregnes og reduceres så meget som muligt. Sæt så lig med 0 og find t.
4. Ca. samme overvejelser som i 3. For at klare tankerne kan du starte med at kalde den funktion du skal integrere for f og den funktion du søger kan du omdøbe til F
2. Du må have tastet forkert i den grafregner? - dine udregninger ser OK ud! Du har vel ikke overset, at F'(x) f(x)? -pi/3 er også en løsning.
3. Der forekommer her en dobbelt betydning af bogstaet t, som jeg vil tro forvirrer dig. Kald funktionen for f. Så har du fået opgivet, at f(t) = t^2-2, og den skal du integrere. Men angivelsen af f kan jo være ligeså god, selv om du kaldte den varable for s:
f(s) = s^2 - 2
for angivelsen af f går alene ud på at beskrive hvad f skal gøre ved en variabel - hvad denne kaldes kan være ligemeget for beskrivelsen.
En stamfunktion hertil finder du let selv, kald den for F(s).
Du er blevet bedt om at lave noget på det bestemte indtegral af f fra -2 til t - her dukker den anden brug af bogstavet t op. Men det bestemte integral du søger er jo bare
F(t) - F(-2) = ...
Dette udregnes og reduceres så meget som muligt. Sæt så lig med 0 og find t.
4. Ca. samme overvejelser som i 3. For at klare tankerne kan du starte med at kalde den funktion du skal integrere for f og den funktion du søger kan du omdøbe til F
Svar #2
02. februar 2004 af msoe (Slettet)
Hejsa! Ok, vi prøver lige igen så. Der er nemlig noget af det, jeg ikke helt har fået fat i...
1. Min lommeregner er stadigvæk ikke enig med mig. Den siger: -5ln2+7/2. Jeg er derimod kommet frem til:
f(x)=x+1-(1/(x+1))-2ln(x+1)
F(x)=0,5x^2+x-ln(x+1)-(x+1)·(-2ln(x+1))
Det bestemte integral:
[F(x)] fra 0 til 1=1,5+ln4
Hvad er det jeg har gjort galt???
2. Hvorfor er både - og + pi/3 en løsning??
Er det fordi cos^-1(1/2)=+ og - (pi/3)?
3. Vil lige tjekke om jeg har gjort det rigtigt...
Det ubestemte integral=(1/3)t^3-2t
Det bestemte integral=(1/3)x^3-2x-1+1/3
Så sætter jeg det bestemte integral lig med 0:
x^3-6x-4=0
x(x^2-6)=4
x=4 eller x=kvadratroden af 10
Men det passer vist igen steder hen...
4. Har fået f(3)=2/3. Rigtigt??
Hvordan skal man redegøre for, at grænseværdien for f=1 for x gående mod uendelig?
5. Har også lige én til...
Jeg skal finde den eksakte værdi for det bestemte integral af x/(x^2-1) fra 2 til 4.
Har fået det ubestemte integral til: 1/2ln(x^2-1)
Det bestemte har jeg fået til:
=(1/2ln(4^2-1))-(1/2ln(2-1))
=1/2ln15
Men min lommeregner siger: (ln5)/2
Håber du vil hjælpe mig en gang til...
Hilsen Maria
1. Min lommeregner er stadigvæk ikke enig med mig. Den siger: -5ln2+7/2. Jeg er derimod kommet frem til:
f(x)=x+1-(1/(x+1))-2ln(x+1)
F(x)=0,5x^2+x-ln(x+1)-(x+1)·(-2ln(x+1))
Det bestemte integral:
[F(x)] fra 0 til 1=1,5+ln4
Hvad er det jeg har gjort galt???
2. Hvorfor er både - og + pi/3 en løsning??
Er det fordi cos^-1(1/2)=+ og - (pi/3)?
3. Vil lige tjekke om jeg har gjort det rigtigt...
Det ubestemte integral=(1/3)t^3-2t
Det bestemte integral=(1/3)x^3-2x-1+1/3
Så sætter jeg det bestemte integral lig med 0:
x^3-6x-4=0
x(x^2-6)=4
x=4 eller x=kvadratroden af 10
Men det passer vist igen steder hen...
4. Har fået f(3)=2/3. Rigtigt??
Hvordan skal man redegøre for, at grænseværdien for f=1 for x gående mod uendelig?
5. Har også lige én til...
Jeg skal finde den eksakte værdi for det bestemte integral af x/(x^2-1) fra 2 til 4.
Har fået det ubestemte integral til: 1/2ln(x^2-1)
Det bestemte har jeg fået til:
=(1/2ln(4^2-1))-(1/2ln(2-1))
=1/2ln15
Men min lommeregner siger: (ln5)/2
Håber du vil hjælpe mig en gang til...
Hilsen Maria
Svar #3
03. februar 2004 af sigmund (Slettet)
ad 5) Ifølge Maple er stamfunktionen til f(x)=x/(x^2-1) F(x)=1/2*ln(x-1)+1/2*ln(x+1). Derfor: prøv igen, brug partiel integration.
Svar #4
03. februar 2004 af sigmund (Slettet)
ad 1) Ifølge Maple er stamfunktionen til f(x)=x+1-(1/(x+1))-2*ln(x+1) F(x)=1/2*x^2+3*x-ln(x+1)-2*ln(x+1)*(x+1)+2 Prøv en gang til, stamfunktionen til ln(x) er sandsynligvis opgivet i din formelsamling.
ad 2) Prøv at tegne en enhedscirkel, og afsæt 1/2 på x-aksen. Så vil du se, at både -pi/3 og +pi/3 er løsning til ligningen cos(x)=1/2.
ad 3) Du har lavet en eller anden fejl i udregningen af ligningen for det bestemte integral. Det skal være 1/3*t^3-4/3-2*t. Dette sætter du lig nul, og løser ligningen mht. t. Du skulle helst få tre løsninger: t=-2, t=1+sqrt(3), t=1-sqrt(3).
ad 4) Ja, f(3)=2/3 (bestemt integral fra 1 til 3) er rigtigt. Grænseværdien finder du ved at integrere fra 1 til uendeligt. Du får: int(1/t^2,t=1..infinity)=F(infinity)-F(1)=-1/infinity-(-1/1)=0+1=1. NB! Dette er ikke helt matematisk stringent, da uendeligt ikke er et tal. Du kan sige at hvis t går mod uendeligt, går 1/t mod 0.
Jeg håber at du forstår dette.
Mhv. Sigmund Vestergaard
ad 2) Prøv at tegne en enhedscirkel, og afsæt 1/2 på x-aksen. Så vil du se, at både -pi/3 og +pi/3 er løsning til ligningen cos(x)=1/2.
ad 3) Du har lavet en eller anden fejl i udregningen af ligningen for det bestemte integral. Det skal være 1/3*t^3-4/3-2*t. Dette sætter du lig nul, og løser ligningen mht. t. Du skulle helst få tre løsninger: t=-2, t=1+sqrt(3), t=1-sqrt(3).
ad 4) Ja, f(3)=2/3 (bestemt integral fra 1 til 3) er rigtigt. Grænseværdien finder du ved at integrere fra 1 til uendeligt. Du får: int(1/t^2,t=1..infinity)=F(infinity)-F(1)=-1/infinity-(-1/1)=0+1=1. NB! Dette er ikke helt matematisk stringent, da uendeligt ikke er et tal. Du kan sige at hvis t går mod uendeligt, går 1/t mod 0.
Jeg håber at du forstår dette.
Mhv. Sigmund Vestergaard
Svar #5
03. februar 2004 af msoe (Slettet)
okay, nu er jeg ved at have fat i det.. Er dog stadigvæk i tvivl om spm. 3:
Viser lige alle mine udregninger:
Først findes det ubestemte integral:
f(t)=t^2-2 F(t)=1/3·t^3-2t
Derefter det bestemte fra -2 til x:
I=(1/3·x^3-2x)-(1/3·(-2)^3-2·(-2))
I=1/3·x^3-2x+8/3-4
I=1/3·x^3-2x-4/3
Dette sættes lig med nul: (det er vist her det går galt)
I=0
1/3·x^3-2x=4/3
x(1/3·x^2-2)=4/3
x=4/3 eller 1/3·x^2-2=4/3
x=4/3 eller 1/3·x^2=10/3
x=4/3 eller x^2=10
x=4/3 eller x=sqrt(10)
Og det holder vist ikke en meter vel?
Skal der stå t eller x i udregningen??
Viser lige alle mine udregninger:
Først findes det ubestemte integral:
f(t)=t^2-2 F(t)=1/3·t^3-2t
Derefter det bestemte fra -2 til x:
I=(1/3·x^3-2x)-(1/3·(-2)^3-2·(-2))
I=1/3·x^3-2x+8/3-4
I=1/3·x^3-2x-4/3
Dette sættes lig med nul: (det er vist her det går galt)
I=0
1/3·x^3-2x=4/3
x(1/3·x^2-2)=4/3
x=4/3 eller 1/3·x^2-2=4/3
x=4/3 eller 1/3·x^2=10/3
x=4/3 eller x^2=10
x=4/3 eller x=sqrt(10)
Og det holder vist ikke en meter vel?
Skal der stå t eller x i udregningen??
Svar #6
04. februar 2004 af sigmund (Slettet)
Fot det første, så skal der stå t, og ikke x. For det næste, så kan du heller ikke løse ligningen sådan. Der findes en løsningsformel for trediegradsligninger, men den er for "lang" til at forklare her. Derfor vil jeg råde dig til at bede din lommeregner om at løse ligningen. Din ligning er rigtig nok, men analytisk er den ikke så let, som du måske havde håbet, at løse.
Du kunne evt. prøve at se her, for en analytisk løsning af en trediegradsligning: http://mathworld.wolfram.com/CubicEquation.html
Du kunne evt. prøve at se her, for en analytisk løsning af en trediegradsligning: http://mathworld.wolfram.com/CubicEquation.html
Svar #7
04. februar 2004 af msoe (Slettet)
okay... så tror jeg vist bare jeg regner den ud i hånden!
Tusind tak for hjælpen!
Tusind tak for hjælpen!
Skriv et svar til: Integraler
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.