Matematik
Differentialligning
y* dy/dx = -½(y^2 - 25), y> 5
a)En funktion f er løsning til differentialligningen, og dens graf går igennem punktet P(0,10).
Bestem hældningskoefficienten for tangenten til grafen for f i punktet P.
b)Bestem en forskrift for f.
c)Gør rede for, at enhver funktion, der er løsning til differentialligningen, er aftagende.
Min løsning:
a)
y'= (-½(y^2 - 25))/y
y'= (-½(10^2 - 25))/10
y'= - 3,75
y - 10 = -3,75(x+0)
y = -3,75x + 10
b) ?????
c)????
Svar #1
10. september 2006 af Sansnom (Slettet)
Brug seperation af de variable, herunder substituionen t=y^2-25 på y-siden.
Der er godt nok ikke noget x, men det betyder blot, at du har en konstant på x-siden.
Svar #2
10. september 2006 af Nannok (Slettet)
dx = (-½(y^2 - 25))/y 1/dy
dx = (-½t)/y dt/2y
er det rigtigt?
Svar #4
10. september 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
Jeg ved ikke om det er helt vildt, men det er i hvert fald ikke rigtigt.
Del (b)
Du har, at
y*dy/dx = -1/2*(y^2 - 25) =>
dy/dx = -1/2*(y^2 - 25)/y =>
dy/dx = -1/2*y + 25/(2*y)
Seperations af variablene giver så
dy = (-1/2*y + 25/(2*y))dx =>
1/(-1/2*y + 25/(2*y))*dy = dx =>
S[1/(-1/2*y + 25/(2*y))]dy = S[1]dx
Nu må du selv udfylde mellemregningerne, men jeg kan fortælle dig, at højresiden er lig med
-ln(y^2-25)
og venstresiden er selvfølgelig lig med x + k, hvor k er en integrationskonstant, som du kan bestemme ud fra oplysningen om integralkurven.
Del (c)
At enhver løsning til differentialligningen er aftagende, betyder at dy/dx
y > 5 =>
y^2 > 25 =>
y^2 - 25 > 0 =>
-1/2*(y^2 - 25) < 0 =>
-1/2*(y^2 - 25)/y < 0 =>
dy/dx < 0
Svar #5
10. september 2006 af Nannok (Slettet)
b: forstår ik helt hvordan kommer hertil
dy/dx = -1/2*(y^2 - 25)/y =>
dy/dx = -1/2*y + 25/(2*y)
du ganger med to. men så burden man da få -y^2 + 25 i tæller?
Svar #6
10. september 2006 af Nannok (Slettet)
og så isolerer jeg y for at få ligningen:
x + k = -ln(y^2 - 25)
e^(k+x) = -y^2 + 25
e^(k+x)- 25 = -y^2
y^2 = -e^(k+x)+ 25
y=Kvrod(-e^(k+x)+ 25 )
er det rigtigt?
Svar #7
10. september 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
Del (a) er korrekt.
Med hensyn til Del (b), så er de to udtryk på venstresiden af ligningerne i #5 jo ens, det
-1/2*(y^2 - 25)/y
= -1/2*(y^2/y - 25/y)
= 1/2*(-y - (-25/y))
= 1/2*(-y + 25/y)
= 1/2*(-y) + 25/y*1/2
= -1/2*y + (25*1)/(y*2)
= -1/2*y + 25/(2*y)
Måske bliver integralet en smule mere overskueligt, hvis du laver omskrivningen
25/(2*y) = 25/2*y^(-1)
Svar #10
10. september 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
Der er noget med dine fortegn som er forkert; husk at gang med -1 inden du tager eksponentialfunktionen på begge sider. Husk også at indsæt værdien af k.
Jeg får følgende:
y = (243*e^(-x) + 25)^(1/2)
for alle reelle x, med forbehold for regnefejl.
Nu vil jeg se tennis, så jeg smutter for i aften -- held og lykke med opgaven.
Svar #11
11. september 2006 af Nannok (Slettet)
-(x + k = ln(y^2 - 25)
e^-(k+x) = y^2 + 25
e^-(k+x)- 25 = y^2
y^2 = e^-(k+x)- 25
y=Kvrod(e^-(k+x)- 25 )
er det rigtigt så?
Skriv et svar til: Differentialligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.