Matematik
induktionsbevis-videregående
24. oktober 2006 af
adflicto (Slettet)
Hej, jeg sidder med en opgaver der volder mig/os problemer.
opgaven teksten er som følger:
"Givet n forskellige punkter i planen, n = 3 .
Bevis ved induktion, at der findes højst
n*(n-1)*(n-2)*(1/6)
cirkler, der går gennem mindst 3 af de givne punkter."
hints, tips og tricks er yderst brugbare.
- AdfliCto
opgaven teksten er som følger:
"Givet n forskellige punkter i planen, n = 3 .
Bevis ved induktion, at der findes højst
n*(n-1)*(n-2)*(1/6)
cirkler, der går gennem mindst 3 af de givne punkter."
hints, tips og tricks er yderst brugbare.
- AdfliCto
Svar #1
24. oktober 2006 af fixer (Slettet)
Opgaven er vist ikke skrevet korrekt ind idet det jo må forudsættes, at n => 3 samt at punkterne ikke er co-lineære (d.v.s. ikke ligger på en ret linie).
I danner udsagnet
P(n) : antal cirkler = n(n-1)(n-2)/6, n => 3
og viser at P(3) er sand.
Dernæst antager i at P(n) er sand. Til de n punkter føjes nu et n+1'te punkt. Argumenter for, at det giver anledning til, at der maksimalt kan tegnes ½n(n-1) nye cirkler indeholdende mindst 3 punkter.
Vis dernæst at
n(n-1)(n-2)/6 + ½n(n-1) = (n+1)n(n-1)/6 : P(n+1)
og slut ved induktion at så er P(n) sand for alle n => 3.
I danner udsagnet
P(n) : antal cirkler = n(n-1)(n-2)/6, n => 3
og viser at P(3) er sand.
Dernæst antager i at P(n) er sand. Til de n punkter føjes nu et n+1'te punkt. Argumenter for, at det giver anledning til, at der maksimalt kan tegnes ½n(n-1) nye cirkler indeholdende mindst 3 punkter.
Vis dernæst at
n(n-1)(n-2)/6 + ½n(n-1) = (n+1)n(n-1)/6 : P(n+1)
og slut ved induktion at så er P(n) sand for alle n => 3.
Skriv et svar til: induktionsbevis-videregående
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.