Matematik
Lineær afbildning
13. november 2006 af
Lehatti (Slettet)
Hejsa!.. Så er jeg kommet ud i en opgave, jeg ikke helt kan få styr på, den er som følgende (LA 7.6):
Lad f betegne den lineære afbildning af R^3 ind i R^3, dr med hensyn til den sædvanlige basis for R^3 har afbildningsmatricen
|1 -1 -2|
A = |0 1 0|
|0 1 3|
Find egenværdierne og de tilsvarende egenvektorer for f. Find endvidere de vektorer x E R^3 for hvilke f(x) = x.
Fint nok!.. Jeg har fundet egenværdierne og de tilhørende egenvektorer, men.. Jeg er ikke helt med på sidste del af opgaven!.. Håber I har et hint eller to.
På forhånd, tak!
Lad f betegne den lineære afbildning af R^3 ind i R^3, dr med hensyn til den sædvanlige basis for R^3 har afbildningsmatricen
|1 -1 -2|
A = |0 1 0|
|0 1 3|
Find egenværdierne og de tilsvarende egenvektorer for f. Find endvidere de vektorer x E R^3 for hvilke f(x) = x.
Fint nok!.. Jeg har fundet egenværdierne og de tilhørende egenvektorer, men.. Jeg er ikke helt med på sidste del af opgaven!.. Håber I har et hint eller to.
På forhånd, tak!
Svar #1
14. november 2006 af fixer (Slettet)
Vink:
Systemet har egenværdien 1 hvorfor den tilhørende egenvektor er base i det endimensionale nulrum nul(A-1*I) hvor A er systemmatricen og I enhedsmatricen (begge 3x3). Alle vektorer i dette underrum kan derfor skrives cv, hvor c er en reel konstant og v egenvektoren.
At løse ligningen f(x)=x er jo det samme som at løse Ax = x, eller
Ax = x <=>
Ax - x = 0 <=>
(A-1*I)x = 0
Mængden af løsninger til denne ligning er netop omtalte nulrum og du kan forhåbentligt genkende ligningen fra din udregning af egenvektoren hørende til egenværdien 1...
Systemet har egenværdien 1 hvorfor den tilhørende egenvektor er base i det endimensionale nulrum nul(A-1*I) hvor A er systemmatricen og I enhedsmatricen (begge 3x3). Alle vektorer i dette underrum kan derfor skrives cv, hvor c er en reel konstant og v egenvektoren.
At løse ligningen f(x)=x er jo det samme som at løse Ax = x, eller
Ax = x <=>
Ax - x = 0 <=>
(A-1*I)x = 0
Mængden af løsninger til denne ligning er netop omtalte nulrum og du kan forhåbentligt genkende ligningen fra din udregning af egenvektoren hørende til egenværdien 1...
Svar #2
20. november 2006 af Lehatti (Slettet)
Forresten fixer, jeg fik ikke takket dig for svaret; tak. :)
Skriv et svar til: Lineær afbildning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.