Generelt
Tankeeksperiment
28. december 2006 af
McMaster (Slettet)
Efter lidt forskellig samtale med nogle kammerater og andre, har vi udviklet et lille tankeeksperiment angående tid.
Forestil dig: At der er bygget en raket, som flyver hurtigere end lysets hastighed. Du bliver sat på denne raket og fløjet ud i rummet.
På vejen retter raketten en linse mod jorden, og i denne linse vil du så kunne se jorden - OG din egen fødsel?
Synes det var et lidt sjovt eksempel - og giver også filosofferne lidt tid til at overveje tid som fænomen! Nogle mener heller ikke det er muligt, at se sin egen fødsel!
(Altså nu er eksemplet med fødslen meget symbolsk - mht til tid, og skal ikke tages bogstaveligt!)
Forestil dig: At der er bygget en raket, som flyver hurtigere end lysets hastighed. Du bliver sat på denne raket og fløjet ud i rummet.
På vejen retter raketten en linse mod jorden, og i denne linse vil du så kunne se jorden - OG din egen fødsel?
Synes det var et lidt sjovt eksempel - og giver også filosofferne lidt tid til at overveje tid som fænomen! Nogle mener heller ikke det er muligt, at se sin egen fødsel!
(Altså nu er eksemplet med fødslen meget symbolsk - mht til tid, og skal ikke tages bogstaveligt!)
Svar #1
29. december 2006 af chrisjorg (Slettet)
Øh, ja,
og hvordan var det lige du ville flyve hurtigere end lysets hastighed?
og hvordan var det lige du ville flyve hurtigere end lysets hastighed?
Svar #2
29. december 2006 af McMaster (Slettet)
Jeg tror ikke du forstår ideen med et tankeeksperiment!!
Svar #3
29. december 2006 af Jeppedyret (Slettet)
Hvis man så flyver med lysets hastighed?? ;p
hva ville man så se??
et billede der var gået istå?
Hvis man så fløj lidt langsommere end lysets hastighed, ville Det så være slowmotion?
hva ville man så se??
et billede der var gået istå?
Hvis man så fløj lidt langsommere end lysets hastighed, ville Det så være slowmotion?
Svar #4
29. december 2006 af McMaster (Slettet)
Ved at overhale lysets hastighed vil man jo også overhale billedet af jorden og dermed tiden?!
Svar #5
29. december 2006 af -Zeta- (Slettet)
#3.
De 'påstande' er faktisk rigtige. Hvis man flyver med lysets hastighed går "billedet" i stå. Hvis man i lang tid flyver nær lysets hastighed (eller bare med god fart) ældres man langsommere og tiden går langsommere. Jf. Einstein relativitetsteori.
#0.
Hvis man så flyver hurtigere end lysets hastighed (hvilket ikke er muligt, ved mindre man består af negetiv masse, hvilket er nonsens) så må man kunne indhente billedet og derved bevæge sig bagud i tiden. Dette er da kun teori, da det ikke er muligt i praksis.
Jeg tvivler dog på, at man på den måde kan indhente ret meget tid.
Næh nej, hvis man vil bygge en tidsmaskine skal man hellere bygge et sort hul fra jorden til en stjerne og derfra tilbage igen, for så at komme hjem og slå sin bedsteforældre ihjel, så man aldrig selv eksiterede og aldrig benyttede tidsmaksine. Einstein må siges at være realist.
De 'påstande' er faktisk rigtige. Hvis man flyver med lysets hastighed går "billedet" i stå. Hvis man i lang tid flyver nær lysets hastighed (eller bare med god fart) ældres man langsommere og tiden går langsommere. Jf. Einstein relativitetsteori.
#0.
Hvis man så flyver hurtigere end lysets hastighed (hvilket ikke er muligt, ved mindre man består af negetiv masse, hvilket er nonsens) så må man kunne indhente billedet og derved bevæge sig bagud i tiden. Dette er da kun teori, da det ikke er muligt i praksis.
Jeg tvivler dog på, at man på den måde kan indhente ret meget tid.
Næh nej, hvis man vil bygge en tidsmaskine skal man hellere bygge et sort hul fra jorden til en stjerne og derfra tilbage igen, for så at komme hjem og slå sin bedsteforældre ihjel, så man aldrig selv eksiterede og aldrig benyttede tidsmaksine. Einstein må siges at være realist.
Svar #6
29. december 2006 af DanielPetersen (Slettet)
Det er faktisk bevist, at det er umuligt for et legeme at kommme over lysets hastighed.
Svar #7
30. december 2006 af fixer (Slettet)
Der er ikke noget i vejen for tankeeksperimenter, også selvom de ikke er realistiske. Hele Sci-Fi literaturen og de fleste computerspil bygger jo på noget sådant.
Hvis det virkelig var muligt at foretage den beskrevne rejse, så ville man, som nævnt ovenfor, indhente lys, der blev reflekteret af Jorden for længere og længere tid siden. Man ville på den måde rejse tilbage i tiden.
Men bemærk at fysikken _ikke_ har bevist at ovrelyshastigheder er umulige. Jeg har sagt det før, men jeg skal gerne sige det igen: videnskaben beviser ikke nogetsomhelst. Videnskaben opstiller matematiske strukturer og afbildninger (repræsentationer) mellem disse strukturer og deres egenskaber og virkeligt observerbare størrelser og deres egenskaber. Een af disse matematiske strukturer er den generelle relativitetsteori (GR) som lokalt reducerer til den specielle relativitetsteori (SR). Og i den teori er det ikke muligt for information at udbrede sig med overlyshastighed. Det beviser ikke, at det er umuligt i virkeligheden. Men gennem tiderne har vi set så mange eksperimentelle vidnesbyrd som stemmer overens med de matematiske strukturer GR (og SR), at vi i indtil videre holder fast i, at virkeligheden (som vi ser den nu) ikke kan ligge langt fra hvad disse strukturer beskriver. Og dermed bliver det alment accepteret, at overlyshastighed i praksis ikke er muligt.
Jeg vil også nævne, at ormehuller heller ikke vides at eksistere. GR er matematisk formuleret på pseudo-Riemann mangfoldigheder og på disse tillader ligningerne løsninger som har topologiske karakteristika som fysikere kalder ormehuller (matematikere kalder dem noget andet). I princippet ville det være muligt at foretage tidsrejser gennem disse (men ikke ved overlyshastighed). Men man har altså aldrig bekræftet eksistensen af dem.
Aflsutningsvis vil jeg nævne, at når man taler om c som den maksimale hastighed i SR så menes, at ingen information kan udbrede sig hurtigere end c. Derudover er der ikke noget i vejen for at "noget" udbreder sig med overlyshastighed. Bølgers gruppehastighed kan sagtens være over c, medens bølgernes udbredelseshastighed er under.
På Rochester Universiyt har man nyligt udført et eksperiment hvor man sendte laserpulser ind i en Erbiumdoteret optisk fiber og en dermed paralleltforløbende reference (som ikke påvirker lyset). Det viste sig, at pulsen kom ud ad den anden ende af den Erbiumdoterede fiber inden den var sendt ind i fiberen. Det lykkedes at eftervise, at der fra fiberens anden ende udbredte sig en puls med overlysfart tilbage mod fiberens indgangsåbning. Pulsen bærer ikke information, men det bliver alligevel interessant at følge de artikler, der kommer ud af det.
Hvis det virkelig var muligt at foretage den beskrevne rejse, så ville man, som nævnt ovenfor, indhente lys, der blev reflekteret af Jorden for længere og længere tid siden. Man ville på den måde rejse tilbage i tiden.
Men bemærk at fysikken _ikke_ har bevist at ovrelyshastigheder er umulige. Jeg har sagt det før, men jeg skal gerne sige det igen: videnskaben beviser ikke nogetsomhelst. Videnskaben opstiller matematiske strukturer og afbildninger (repræsentationer) mellem disse strukturer og deres egenskaber og virkeligt observerbare størrelser og deres egenskaber. Een af disse matematiske strukturer er den generelle relativitetsteori (GR) som lokalt reducerer til den specielle relativitetsteori (SR). Og i den teori er det ikke muligt for information at udbrede sig med overlyshastighed. Det beviser ikke, at det er umuligt i virkeligheden. Men gennem tiderne har vi set så mange eksperimentelle vidnesbyrd som stemmer overens med de matematiske strukturer GR (og SR), at vi i indtil videre holder fast i, at virkeligheden (som vi ser den nu) ikke kan ligge langt fra hvad disse strukturer beskriver. Og dermed bliver det alment accepteret, at overlyshastighed i praksis ikke er muligt.
Jeg vil også nævne, at ormehuller heller ikke vides at eksistere. GR er matematisk formuleret på pseudo-Riemann mangfoldigheder og på disse tillader ligningerne løsninger som har topologiske karakteristika som fysikere kalder ormehuller (matematikere kalder dem noget andet). I princippet ville det være muligt at foretage tidsrejser gennem disse (men ikke ved overlyshastighed). Men man har altså aldrig bekræftet eksistensen af dem.
Aflsutningsvis vil jeg nævne, at når man taler om c som den maksimale hastighed i SR så menes, at ingen information kan udbrede sig hurtigere end c. Derudover er der ikke noget i vejen for at "noget" udbreder sig med overlyshastighed. Bølgers gruppehastighed kan sagtens være over c, medens bølgernes udbredelseshastighed er under.
På Rochester Universiyt har man nyligt udført et eksperiment hvor man sendte laserpulser ind i en Erbiumdoteret optisk fiber og en dermed paralleltforløbende reference (som ikke påvirker lyset). Det viste sig, at pulsen kom ud ad den anden ende af den Erbiumdoterede fiber inden den var sendt ind i fiberen. Det lykkedes at eftervise, at der fra fiberens anden ende udbredte sig en puls med overlysfart tilbage mod fiberens indgangsåbning. Pulsen bærer ikke information, men det bliver alligevel interessant at følge de artikler, der kommer ud af det.
Svar #8
30. december 2006 af Jeppedyret (Slettet)
#7 niiice :P
Hehe...
Jeg forstår godt, at hvis man nu rejser, så vil man se hvad der skete tilbage i tiden fx på jorden. Men er dette så en tidsrejse?? når man kigger tilbage i tiden?
Dvs. at først rejser man væk fra jorden over lysets hastighed. Herved vil tiden blive spolet tilbage(altså det man ser på jorden) (Kan godt lide opfattelsen af en videomaskine(Er denne korrekt?)). Så rejser man tilbage til Jorden igen med over lysets hastighed. Hvad ville "klokken" så være på jorden???
For umiddelbart siger min logik, at den ville være det samme, som hvis man ikke havde rejst. Da når man nærmer jorden så vil "videobåndet" køre i Fast-forward.
Men Tiden ville altså være spolet tilbage for personen kan jeg forstå?
Det blev lidt kringlet...
Hehe...
Jeg forstår godt, at hvis man nu rejser, så vil man se hvad der skete tilbage i tiden fx på jorden. Men er dette så en tidsrejse?? når man kigger tilbage i tiden?
Dvs. at først rejser man væk fra jorden over lysets hastighed. Herved vil tiden blive spolet tilbage(altså det man ser på jorden) (Kan godt lide opfattelsen af en videomaskine(Er denne korrekt?)). Så rejser man tilbage til Jorden igen med over lysets hastighed. Hvad ville "klokken" så være på jorden???
For umiddelbart siger min logik, at den ville være det samme, som hvis man ikke havde rejst. Da når man nærmer jorden så vil "videobåndet" køre i Fast-forward.
Men Tiden ville altså være spolet tilbage for personen kan jeg forstå?
Det blev lidt kringlet...
Svar #9
30. december 2006 af fixer (Slettet)
Ja, det må vi sige er en tidsrejse - at se en virkelighed real-time som den tog sig ud i fortiden. Nogenlunde samme effekt opnås ved at kigge på stjernehimlen. Hvis man kigge på f.eks. Andromedagalaksen ser man den, som den så ud for ca. 2.2 millioner år siden.
Hvis først du begynder at vende rumskibet om begynder det for alvor at blive bøvlet. For det første vil du under tilbagerejsen kigge ind i rumpen på dit eget rumskib - du vil jeg nemlig se det lys, som blev reflekteret fra dit rumskib under udrejsen, men som de sprintede væk fra.
For at vende rumskibet om er det nødt til at accelerere og så gælder SR slet ikke. Den gælder kun i inertialsystemer, som er i jævn bevægelse relativt til hinanden.
Hvis først du begynder at vende rumskibet om begynder det for alvor at blive bøvlet. For det første vil du under tilbagerejsen kigge ind i rumpen på dit eget rumskib - du vil jeg nemlig se det lys, som blev reflekteret fra dit rumskib under udrejsen, men som de sprintede væk fra.
For at vende rumskibet om er det nødt til at accelerere og så gælder SR slet ikke. Den gælder kun i inertialsystemer, som er i jævn bevægelse relativt til hinanden.
Svar #10
30. december 2006 af Jeppedyret (Slettet)
hehe okay...
Men "tidsrejsen" består altså i, at man kigger tilbage i tiden? man kan ikke selv komme tilbage, hvis man rejste frem og tilbage?
Men "tidsrejsen" består altså i, at man kigger tilbage i tiden? man kan ikke selv komme tilbage, hvis man rejste frem og tilbage?
Svar #11
30. december 2006 af Mooch (Slettet)
#6
"Det er faktisk bevist, at det er umuligt for et legeme at kommme over lysets hastighed."'
Ja men bare fordi det er bevist betyder det ikke at det altid er rigtigt.
Foskere havde også bevidst at en humlebi ikke kunne flyve...
"Det er faktisk bevist, at det er umuligt for et legeme at kommme over lysets hastighed."'
Ja men bare fordi det er bevist betyder det ikke at det altid er rigtigt.
Foskere havde også bevidst at en humlebi ikke kunne flyve...
Svar #12
30. december 2006 af McMaster (Slettet)
Det interessante er jo sådan set ikke om man kan flyve med eller over lysets hastighed, hvilket nok må antages at være umuligt - det er selve forestillingen om, at man kan overhale tiden( teoretisk), og så opleve fortiden.
Det har vel alt sammen noget at gøre med, at menneskets oplevelse af tid - er det vi opfatter (hovedsageligt) gennem øjnene - men som jo også ifølge Einstein er relativt?!
Jeg overlader udregninger og beviser til fysikerne, men det er egentligt folks reaktion på om de kan se/opleve deres egen fødsel, som er forskellig.
Hørte om et endnu mere "finurligt" eksempel på tid her forleden, men kan ikke lige huske det pt..
Det har vel alt sammen noget at gøre med, at menneskets oplevelse af tid - er det vi opfatter (hovedsageligt) gennem øjnene - men som jo også ifølge Einstein er relativt?!
Jeg overlader udregninger og beviser til fysikerne, men det er egentligt folks reaktion på om de kan se/opleve deres egen fødsel, som er forskellig.
Hørte om et endnu mere "finurligt" eksempel på tid her forleden, men kan ikke lige huske det pt..
Svar #13
30. december 2006 af Benjamin. (Slettet)
#7
Af nysgerrighed:
1) Hvilke ord ville matematikere så bruge om ormehuller?
2) Kan du uddybe, hvad pseudo-Riemann mangfoldigheder er? Eller henvise til mere eller mindre lettilgængelig information om emnet og/eller evt. andre nærtliggende emner?
3) Hvor kan man følge artiklerne om resultaterne nævnt i sidste afsnit?
Af nysgerrighed:
1) Hvilke ord ville matematikere så bruge om ormehuller?
2) Kan du uddybe, hvad pseudo-Riemann mangfoldigheder er? Eller henvise til mere eller mindre lettilgængelig information om emnet og/eller evt. andre nærtliggende emner?
3) Hvor kan man følge artiklerne om resultaterne nævnt i sidste afsnit?
Svar #14
30. december 2006 af fixer (Slettet)
Først må jeg oprigtigt beklage noget forbandet ævl jeg fik sagt i #7. SR kan sagtens håndtere acceleration; jeg aner ikke hvad der gik af mig.
#13
1) En kompakt delmængde som ikke er enkeltsammenhængende. Begreberne 'kompakt' og 'enkeltsammenhængende' udspringer af en matematisk disciplin, der hedder topologi.
2) En mangfoldighed er et matematisk rum, som lokalt ligner et Euklidisk rum, men globalt kan have en struktur der afviger betydeliget fra Euklidiske rum. En Riemann mangfoldighed er en differentiabel mangfoldighed forsynet med et indre produkt. Det betyder at man kan udføre differentiationer og kan tale om afstande, vinkler, arealer, volumener etc. En pseudo-Riemannsk mangfoldighed er "lige-ved-og-næsten" en Riemann-mangfoldighed, men det indre produkt man indfører opfylder ikke helt kravene til et sådant (det er ikke positiv definit). I GR opfattes rum-tid matemtisk set som en 4 dimensional pseudo-Riemannsk mangfoldighed.
3) Der bliver man nødt til at følge med i videnskabelige tidsskrifter. Du kan læse pressemeddelelsen om forsøget her:
http://www.rochester.edu/news/show.php?id=2544
#13
1) En kompakt delmængde som ikke er enkeltsammenhængende. Begreberne 'kompakt' og 'enkeltsammenhængende' udspringer af en matematisk disciplin, der hedder topologi.
2) En mangfoldighed er et matematisk rum, som lokalt ligner et Euklidisk rum, men globalt kan have en struktur der afviger betydeliget fra Euklidiske rum. En Riemann mangfoldighed er en differentiabel mangfoldighed forsynet med et indre produkt. Det betyder at man kan udføre differentiationer og kan tale om afstande, vinkler, arealer, volumener etc. En pseudo-Riemannsk mangfoldighed er "lige-ved-og-næsten" en Riemann-mangfoldighed, men det indre produkt man indfører opfylder ikke helt kravene til et sådant (det er ikke positiv definit). I GR opfattes rum-tid matemtisk set som en 4 dimensional pseudo-Riemannsk mangfoldighed.
3) Der bliver man nødt til at følge med i videnskabelige tidsskrifter. Du kan læse pressemeddelelsen om forsøget her:
http://www.rochester.edu/news/show.php?id=2544
Svar #15
31. december 2006 af Benjamin. (Slettet)
#14
1) (Jeg forventer ikke, du vil give en uddybende forklaring på topologien men:) Kan du forklare begreberne 'kompakt' og 'enkeltsammenhængende'?
2) Hvori ligger forskellen globalt på et Euklidisk rum og en mangfoldighed? Hvad betyder det, at mangfoldigheden har 'et indre produkt'? Og hvordan kan et matematisk rum være differentiabelt?
4) Kan man på internettet se billeder af, hvordan man forestiller sig en mangfoldighed?
1) (Jeg forventer ikke, du vil give en uddybende forklaring på topologien men:) Kan du forklare begreberne 'kompakt' og 'enkeltsammenhængende'?
2) Hvori ligger forskellen globalt på et Euklidisk rum og en mangfoldighed? Hvad betyder det, at mangfoldigheden har 'et indre produkt'? Og hvordan kan et matematisk rum være differentiabelt?
4) Kan man på internettet se billeder af, hvordan man forestiller sig en mangfoldighed?
Svar #16
02. januar 2007 af fixer (Slettet)
Risikoen ved at forklare mere er at der blot er endnu flere begreber, du ikke kender til. Men en meget uformel beskrivelse kan forsøgsvist lyde sådan her:
1)
At en mængde (rum) er kompakt betyder at den på mange måder minder om en endelig mængde, uden nødvendigvis at være det. Det betyder, at mange af de egenskaber, man kender fra endelige mængder, kan overføres til kompakte mængder.
At et rum er enkeltsammenhængende betyder i praksis at der ikke er nogle huller i det. En vaniliekrans er ikke enkeltsammenhængende. En bordtennisbold er.
2)
Mangfoldigheder kan være langt mere komplicerede end sædvanligt Euklidisk rum. Et eksempel på en mangfoldighed er en kugleflade. Ethvert punkt på kuglen har en omegn af punkter som minder om den sædvanlige Eukilidiske plan. Det er det der menes med, at en mangfoldighed lokalt minder om et Eukilidisk rum. Men globalt har kuglefladen ingen lighed med den Euklidiske plan. Kuglefladen er krum, planen er flad.
Et indre produkt kaldes også et skalarprodukt. Det kender du formodentligt. Det er skalarproduktet der gør, at man kan tale om længder, afstande, vinkler og andre geometriske termer.
Det er ikke rummet der er differentiabelt. Det er en struktur, hvormed rummet er forsynet, som er differentiabel. Til mangfoldigheden knytter man nogle afbildninger som afbilder delmængder af mangfoldigheden ind i et Euklidisk rum. Afbildningerne kalder man kort, og hvis to korts definitionsmængder overlapper har man tillige afbildninger (kortskifte) som kan skifte mellem kortene på overlappet. Det er sidstnævnte afbildninger, der skal være differentiable.
4)
Du kan selv tænke dig et hav af muligheder. Nogle af de flader, du kender fra hverdagen, er eksempler på (2-dimensionale) mangfoldigheder (f.eks. kugleflader, marker, der bugter sig).
1)
At en mængde (rum) er kompakt betyder at den på mange måder minder om en endelig mængde, uden nødvendigvis at være det. Det betyder, at mange af de egenskaber, man kender fra endelige mængder, kan overføres til kompakte mængder.
At et rum er enkeltsammenhængende betyder i praksis at der ikke er nogle huller i det. En vaniliekrans er ikke enkeltsammenhængende. En bordtennisbold er.
2)
Mangfoldigheder kan være langt mere komplicerede end sædvanligt Euklidisk rum. Et eksempel på en mangfoldighed er en kugleflade. Ethvert punkt på kuglen har en omegn af punkter som minder om den sædvanlige Eukilidiske plan. Det er det der menes med, at en mangfoldighed lokalt minder om et Eukilidisk rum. Men globalt har kuglefladen ingen lighed med den Euklidiske plan. Kuglefladen er krum, planen er flad.
Et indre produkt kaldes også et skalarprodukt. Det kender du formodentligt. Det er skalarproduktet der gør, at man kan tale om længder, afstande, vinkler og andre geometriske termer.
Det er ikke rummet der er differentiabelt. Det er en struktur, hvormed rummet er forsynet, som er differentiabel. Til mangfoldigheden knytter man nogle afbildninger som afbilder delmængder af mangfoldigheden ind i et Euklidisk rum. Afbildningerne kalder man kort, og hvis to korts definitionsmængder overlapper har man tillige afbildninger (kortskifte) som kan skifte mellem kortene på overlappet. Det er sidstnævnte afbildninger, der skal være differentiable.
4)
Du kan selv tænke dig et hav af muligheder. Nogle af de flader, du kender fra hverdagen, er eksempler på (2-dimensionale) mangfoldigheder (f.eks. kugleflader, marker, der bugter sig).
Svar #17
02. januar 2007 af Benjamin. (Slettet)
#16 Ok. Det var - som sædvanlig - en fremragende forklaring.
1) (Ikke for at være irriterende, jeg er bare nysgerrig, så hvis det bliver for meget, forstår jeg, hvis du springer over, men:) Hvad er det fx. for nogle egenskaber?
2) (Første afsnit af denne forklaring forvirrede mig lidt, selvom jeg kender til den nævnte type mangfoldigheder(men dog ikke vidste, at de kaldtes mangfoldigheder) (jeg er bl.a. stødt på artiklen på wikipedia om "ikke-euklidisk geometri": http://en.wikipedia.org/wiki/Non-Euclidean_geometry eller den danske: http://da.wikipedia.org/wiki/Ikke-euklidisk_geometri. Stammer Riemann mangfoldigheder fra den nævnte Riemannske geometri i linkene, eller er det bare det samme?). Det der forvirrede var dimensionerne)Jeg havde forstået på tidligere svar, at eksempeltvis pseudo-Riemann mangfoldigheder havde mere end to dimensioner; hvilket leder tilbage til et spørgsmål til #14: Hvordan beskriver man noget 4-dimensionelt? Jeg har hørt, at den 4. dimension generelt opfattes som tid. Har man så i det hele taget overvejet, hvad en n. dimension (n€N) er?
Hvordan kan der være forskel på det 3-dimensionelle - fx. Euklidisk rum og 3-dimensionelle mangfoldigheder? Jeg har en idé om det: Jeg vil forestille mig et træ, der består af flere lag og sammenligne det med en 3-dimensionel mangfoldighed (hvis den består af uendeligt mange uendeligt "tynde lag"/2-dimensionelle mangfoldigheder) og sætte den op imod det Euklidiske rum (når man snakker om Euklidisk rum, menes der ikke Euklidisk plan, gør der? Er Euklidisk rum ikke 3-dimensionelt og Euklidisk plan 2-dimensionelt? Den første del af #16, 2) forvirrede som sagt lidt på det område), som så billedlig set består af uendelig mange Euklidiske plan - Er dette helt ude i hampen? Men hvis den 3-dimensionelle mangfoldighed og det Euklidiske rum ikke er begrænsede, hvad er så forskellen?
Jeg har ikke hørt om skalarprodukt (det er vel noget, der hører til vektorregning); min lærer snakker om at vente med vektorregning til 3.g.
Kaldes afbildinger synonymt for kort, eller er der noget specielt ved disse afbildinger, som gør, at man kalder dem for kort?
Jeg håber, du kan og vil prøve at muge ud i mine misforståelser, og vise, hvad der egentlig er rigtigt.
1) (Ikke for at være irriterende, jeg er bare nysgerrig, så hvis det bliver for meget, forstår jeg, hvis du springer over, men:) Hvad er det fx. for nogle egenskaber?
2) (Første afsnit af denne forklaring forvirrede mig lidt, selvom jeg kender til den nævnte type mangfoldigheder(men dog ikke vidste, at de kaldtes mangfoldigheder) (jeg er bl.a. stødt på artiklen på wikipedia om "ikke-euklidisk geometri": http://en.wikipedia.org/wiki/Non-Euclidean_geometry eller den danske: http://da.wikipedia.org/wiki/Ikke-euklidisk_geometri. Stammer Riemann mangfoldigheder fra den nævnte Riemannske geometri i linkene, eller er det bare det samme?). Det der forvirrede var dimensionerne)Jeg havde forstået på tidligere svar, at eksempeltvis pseudo-Riemann mangfoldigheder havde mere end to dimensioner; hvilket leder tilbage til et spørgsmål til #14: Hvordan beskriver man noget 4-dimensionelt? Jeg har hørt, at den 4. dimension generelt opfattes som tid. Har man så i det hele taget overvejet, hvad en n. dimension (n€N) er?
Hvordan kan der være forskel på det 3-dimensionelle - fx. Euklidisk rum og 3-dimensionelle mangfoldigheder? Jeg har en idé om det: Jeg vil forestille mig et træ, der består af flere lag og sammenligne det med en 3-dimensionel mangfoldighed (hvis den består af uendeligt mange uendeligt "tynde lag"/2-dimensionelle mangfoldigheder) og sætte den op imod det Euklidiske rum (når man snakker om Euklidisk rum, menes der ikke Euklidisk plan, gør der? Er Euklidisk rum ikke 3-dimensionelt og Euklidisk plan 2-dimensionelt? Den første del af #16, 2) forvirrede som sagt lidt på det område), som så billedlig set består af uendelig mange Euklidiske plan - Er dette helt ude i hampen? Men hvis den 3-dimensionelle mangfoldighed og det Euklidiske rum ikke er begrænsede, hvad er så forskellen?
Jeg har ikke hørt om skalarprodukt (det er vel noget, der hører til vektorregning); min lærer snakker om at vente med vektorregning til 3.g.
Kaldes afbildinger synonymt for kort, eller er der noget specielt ved disse afbildinger, som gør, at man kalder dem for kort?
Jeg håber, du kan og vil prøve at muge ud i mine misforståelser, og vise, hvad der egentlig er rigtigt.
Svar #18
01. februar 2007 af fixer (Slettet)
#17
1) Det er ikke sådan lige at forklare uden at det bliver en tynd kop te. Men det hænger sammen med, at i almindelighed er fællesmængden af uendeligt mange omegne til et punkt i en mængde ikke nødvendigvis selv en omegn af punktet. Fællesmængden af endeligt mange omegne er. Og det samme gælder hvis mængden er kompakt, og det er det jeg mener med, at kompakte mængder har egenskaber, der minder om endelige mængder. En præcis definition af kompakthedsbegrebet kræver kendskab til åbne mængder og overdækninger.
2)
Ja, Riemanngeometri beskæftiger sig netop med differentiable mangfoldigheder forsynet med en Riemannmetrik, d.v.s. et skalarprodukt, der opfylder nogle tekniske detaljer.
Hvad angår dimensioner, så er en n-dimensional mangfoldighed en mængde (som også skal opfylde nogle teknikaliteter) som lokalt ligner en nærmere bestemt delmængde af det n-dimensionale Euklidiske rum. Mere præcist skal den lokalt ligne "enhedskuglen" i det n-dimensionale Euklidiske rum. Med "enhedskuglen" menes den punktmængde, der består af alle punkter med afstand < 1 fra origo i det n-dimensionale Euklidiske rum. En 2-dimensional mangfoldighed skal altså lokalt ligne enhedskuglen i 2 dimensioner, hvilket er en cirkelskive. En 1-dimensional mangfoldighed skal lokalt ligne enhedskuglen i 1-dimension, hvilket er et liniestykke. En 3-dimensional mangfoldighed skal lokalt ligne enhedskuglen i 3-dimensioner, hvilket er den kugle du kender i det sædvanlige 3-dimensionale Euklidiske rum. Et eksemple på en 3-mangfoldighed er enhedskuglen i 4 dimensioner. Som du vil forstå, er det ikke nemt (læs: umuligt) at visualisere en 4-mangfoldighed endsige den enhedskugle i 4 dimensioner, den lokalt skal ligne.
Du skal ikke lade dig forvirre af at jeg kalder alt for rum, uanset hvilken dimension. Det er en (meget rimelig) erhvervsskade der kommer af kendskab til vektorrum. Et 2-dimensionalt Euklidisk rum ville man i gymnasiet formodentlig kalde noget så prosaisk som en plan.
Mht. kort så er det den betegnelse man anvender for afbildningerne. Forestil dig jordkloden og 2 afbildninger. Den ene projicerer den nordlige halvkugle op på en plan (= et 2-dimensionalt Euklidisk rum), den anden den sydlige halvkugle på en plan. Dermed har man fået dækket jordkloden med 2 kort (= afbildninger) og samlingen af dem kalder man et atlas. Og det er ved hjælp af disse afbildninger man lokalt (her: nordlige og sydlige halvkugle) får skabt en korrespondens mellem en kompliceret struktur (her jordens overflade) og noget simpelt (her: delmængder af en plan).
1) Det er ikke sådan lige at forklare uden at det bliver en tynd kop te. Men det hænger sammen med, at i almindelighed er fællesmængden af uendeligt mange omegne til et punkt i en mængde ikke nødvendigvis selv en omegn af punktet. Fællesmængden af endeligt mange omegne er. Og det samme gælder hvis mængden er kompakt, og det er det jeg mener med, at kompakte mængder har egenskaber, der minder om endelige mængder. En præcis definition af kompakthedsbegrebet kræver kendskab til åbne mængder og overdækninger.
2)
Ja, Riemanngeometri beskæftiger sig netop med differentiable mangfoldigheder forsynet med en Riemannmetrik, d.v.s. et skalarprodukt, der opfylder nogle tekniske detaljer.
Hvad angår dimensioner, så er en n-dimensional mangfoldighed en mængde (som også skal opfylde nogle teknikaliteter) som lokalt ligner en nærmere bestemt delmængde af det n-dimensionale Euklidiske rum. Mere præcist skal den lokalt ligne "enhedskuglen" i det n-dimensionale Euklidiske rum. Med "enhedskuglen" menes den punktmængde, der består af alle punkter med afstand < 1 fra origo i det n-dimensionale Euklidiske rum. En 2-dimensional mangfoldighed skal altså lokalt ligne enhedskuglen i 2 dimensioner, hvilket er en cirkelskive. En 1-dimensional mangfoldighed skal lokalt ligne enhedskuglen i 1-dimension, hvilket er et liniestykke. En 3-dimensional mangfoldighed skal lokalt ligne enhedskuglen i 3-dimensioner, hvilket er den kugle du kender i det sædvanlige 3-dimensionale Euklidiske rum. Et eksemple på en 3-mangfoldighed er enhedskuglen i 4 dimensioner. Som du vil forstå, er det ikke nemt (læs: umuligt) at visualisere en 4-mangfoldighed endsige den enhedskugle i 4 dimensioner, den lokalt skal ligne.
Du skal ikke lade dig forvirre af at jeg kalder alt for rum, uanset hvilken dimension. Det er en (meget rimelig) erhvervsskade der kommer af kendskab til vektorrum. Et 2-dimensionalt Euklidisk rum ville man i gymnasiet formodentlig kalde noget så prosaisk som en plan.
Mht. kort så er det den betegnelse man anvender for afbildningerne. Forestil dig jordkloden og 2 afbildninger. Den ene projicerer den nordlige halvkugle op på en plan (= et 2-dimensionalt Euklidisk rum), den anden den sydlige halvkugle på en plan. Dermed har man fået dækket jordkloden med 2 kort (= afbildninger) og samlingen af dem kalder man et atlas. Og det er ved hjælp af disse afbildninger man lokalt (her: nordlige og sydlige halvkugle) får skabt en korrespondens mellem en kompliceret struktur (her jordens overflade) og noget simpelt (her: delmængder af en plan).
Svar #19
01. marts 2007 af Benjamin. (Slettet)
#18 Mange tak for alle dine gode forklaringer, det er dejligt, at du gider, at tage dig tid til at forklare sager som disse, og du er efter min mening virkelig god til det.
Jeg har lige et par og sidste spørgsmål i denne omgang (medmindre en ny forklaring tirrer min nysgerrighed for meget), for at se om jeg har forstået det helt korrekt og lige få lidt mere med:
1) Hvis en kompakt mængde ikke er endelig, er den så uendelig? Og hvordan kan det være, at fællesmængden af uendeligt mange omegne til et punkt ikke også altid er en omegn til punktet?
2) Hvordan kan en 3-mangfoldighed eksempeltvis se ud? Og findes der noget kaldet et 0-dimensionelt? Og i så fald, er "enhedskuglen" vel et punkt?
5) Det er den slags dimensionsspekuleren, der har holdt mig vågen nogle nætter, og jeg synes virkelig topologi lyder interessant. Tror du, det er muligt at få emner indenfor topologi, som valgfrit emne i gymnasiet i 3.g med højniveau-matematik? Og i din profil, ser jeg at én af dine primære interesser er algebraisk topologi. Hvad er det i forhold til topologi generelt?
Jeg har lige et par og sidste spørgsmål i denne omgang (medmindre en ny forklaring tirrer min nysgerrighed for meget), for at se om jeg har forstået det helt korrekt og lige få lidt mere med:
1) Hvis en kompakt mængde ikke er endelig, er den så uendelig? Og hvordan kan det være, at fællesmængden af uendeligt mange omegne til et punkt ikke også altid er en omegn til punktet?
2) Hvordan kan en 3-mangfoldighed eksempeltvis se ud? Og findes der noget kaldet et 0-dimensionelt? Og i så fald, er "enhedskuglen" vel et punkt?
5) Det er den slags dimensionsspekuleren, der har holdt mig vågen nogle nætter, og jeg synes virkelig topologi lyder interessant. Tror du, det er muligt at få emner indenfor topologi, som valgfrit emne i gymnasiet i 3.g med højniveau-matematik? Og i din profil, ser jeg at én af dine primære interesser er algebraisk topologi. Hvad er det i forhold til topologi generelt?
Svar #20
01. marts 2007 af Benjamin. (Slettet)
#19 Rettelse:
"et 0-dimensionelt" -> "0-dimensionelt"
"et 0-dimensionelt" -> "0-dimensionelt"