Generelt
Side 2 - Tankeeksperiment
Svar #21
01. marts 2007 af fixer (Slettet)
#19
1) Ja, det er klart. Det er ikke anderledes for kompakte mængder end for ikke-kompakte mængder: hvis den ikke er tom, og ikke har et endeligt antal elementer så må den have uendeligt mange elementer. At en mængde besidder egenskaben at være kompakt siger i almindelighed ikke noget om kardinaliteten af mængden.
At fællesmængden af uendeligt mange omegne af et punkt ikke nødvendigvis selv er en omegn kan bedst illustreres med et eksempel. Hvis vi lader mængden være R og danner omegnene N_n(0) til punktet 0 ved de tælleligt uendeligt mange mængder N_n(0) = ]-1/n,1/n[, n E N, så er fællesmængden af dem {0}, hvilket ikke er en omegn til 0 i R (forsynet med sædvanlig topologi).
2) Som nævnt i mit forrige indlæg er det ikke nemt at visualisere 3-mangfoldigheder. Det er jo en mangfoldighed som lokalt minder om den sædvanlige enhedskugle i 3 dimensioner, så globalt kan du nok se det ikke er nogen enkel sag.
At indføre en topologi i en mængde betyder at fastlægge hvilke delmængder, der skal betragtes som værende åbne. Den topologi, ved hvilken man betragter enhver delmængde som værende åben, kaldes den diskrete topologi. Et rum forsynet med den diskrete topologi er det samme som en 0-dimensional mangfoldighed. Eftersom ethvert punkt af rummet dermed er en åben delmængde deraf, og dermed en omegn, bliver det forståeligt hvorfor det er en 0-mangfoldighed; enhver omegen af et punkt minder om enhedskuglen i det 0-dimensionale Euklidiske rum - d.v.s. et punkt.
5) Ja, det skulle vel ikke være umuligt at berøre generel topologi i gymnasiet. Men det er nok bedst at diskutere det med din lærer.
Algebraisk topologi går ud på at anvende abstrakt algebra (specielt gruppeteori) til at karakterisere topologiske rum. Det kan umiddelbart være svært at afgøre om 2 topologiske rum er "ens". En måde at afgøre det på er ved til topologiske rum at knytte nogle algebraiske invarianter. Hvis 2 topologiske rum ikke har de samme algebraiske invarianter, så er de ikke "ens". Lad være med at spekulere for meget over det; det er temmelig langhåret. Men hvis du ikke kan dy dig, kan du søge på følgende ord:
fundamentalgruppe [eng: fundamental group]
homotopiteori [eng: homotopy theory]
homologi [eng: homology]
kohomologi [eng: cohomology]
Men jeg advarer dig: det ligger lysår over gymnasieniveau.
1) Ja, det er klart. Det er ikke anderledes for kompakte mængder end for ikke-kompakte mængder: hvis den ikke er tom, og ikke har et endeligt antal elementer så må den have uendeligt mange elementer. At en mængde besidder egenskaben at være kompakt siger i almindelighed ikke noget om kardinaliteten af mængden.
At fællesmængden af uendeligt mange omegne af et punkt ikke nødvendigvis selv er en omegn kan bedst illustreres med et eksempel. Hvis vi lader mængden være R og danner omegnene N_n(0) til punktet 0 ved de tælleligt uendeligt mange mængder N_n(0) = ]-1/n,1/n[, n E N, så er fællesmængden af dem {0}, hvilket ikke er en omegn til 0 i R (forsynet med sædvanlig topologi).
2) Som nævnt i mit forrige indlæg er det ikke nemt at visualisere 3-mangfoldigheder. Det er jo en mangfoldighed som lokalt minder om den sædvanlige enhedskugle i 3 dimensioner, så globalt kan du nok se det ikke er nogen enkel sag.
At indføre en topologi i en mængde betyder at fastlægge hvilke delmængder, der skal betragtes som værende åbne. Den topologi, ved hvilken man betragter enhver delmængde som værende åben, kaldes den diskrete topologi. Et rum forsynet med den diskrete topologi er det samme som en 0-dimensional mangfoldighed. Eftersom ethvert punkt af rummet dermed er en åben delmængde deraf, og dermed en omegn, bliver det forståeligt hvorfor det er en 0-mangfoldighed; enhver omegen af et punkt minder om enhedskuglen i det 0-dimensionale Euklidiske rum - d.v.s. et punkt.
5) Ja, det skulle vel ikke være umuligt at berøre generel topologi i gymnasiet. Men det er nok bedst at diskutere det med din lærer.
Algebraisk topologi går ud på at anvende abstrakt algebra (specielt gruppeteori) til at karakterisere topologiske rum. Det kan umiddelbart være svært at afgøre om 2 topologiske rum er "ens". En måde at afgøre det på er ved til topologiske rum at knytte nogle algebraiske invarianter. Hvis 2 topologiske rum ikke har de samme algebraiske invarianter, så er de ikke "ens". Lad være med at spekulere for meget over det; det er temmelig langhåret. Men hvis du ikke kan dy dig, kan du søge på følgende ord:
fundamentalgruppe [eng: fundamental group]
homotopiteori [eng: homotopy theory]
homologi [eng: homology]
kohomologi [eng: cohomology]
Men jeg advarer dig: det ligger lysår over gymnasieniveau.
Skriv et svar til: Tankeeksperiment
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.