diff.ligning

se
http://peecee.dk/?id=23018

Øhhhm.. det hjalp ikke rigtig.. linket har ikke noget med opgaven at gøre?

I opgaven oplyses det at funktionen er prop. med væksthastigheden. Sagt på en anden måde så er differentialkvotienten lig en konstant gange funktionsværdien:
f'=k*f
En sådan diff. ligning har løsningen:
f=c*e^kt eller f=c*e^kt
Hvilken en af disse løsninger det er kan vi finde ud af, da vi har en oplysning om en diffværdi: f'(0)=1. Dette betyder at funktionen er tiltagende, derfor må der være tale om: f=c*e^kt
Da du har 2 koordinater, kan du bestemme forskriften for f(t)vha 2 ligninger
f=c*e^kt -- 2=c*e^k*0 -- c=2
f'=k*f -- 1=k*2 -- k=1/2
Forskriften vil da blive:
f(t)=2*e^(1/2*t)

Det oplyses også at g har løsningen:
g(t)=3f(t)+2
Vi sætter da vores forskrift af f(t) ind:
g(t)=3*2*e^(1/2*t)+2
=6*e^(1/2*t)+2
Da vi skal fremstille en differentialligning, må undersøge g'(t)
g'(t)=3*e^(1/2*t)
Da der er propertionalitet mellem den aflededet unktion og den oprindelig funktion må vi have at gøre med typen: dy/dx=k*y som har løsningen: y=c*e^(kx)
Hvis man kigge på g(t) og g'(t) kan man hurtig overbise sig selv om, at k=1/2
Vi har derfor følgende differentialligning:
dg/dt=1/2*g

Der skulle selvfølgeig have stået:
f=c*e^(kt) og f=c*e(-kt)