Diffentialligningssystemer

Du skal benytte struktursætningen:

lad X(t) betegne samtlige løsninger til det inhomogene LINEÆRE differentialligningssyetem, da er den fuldstændige løsning givet ved:

X(t) = X[hom](t) + X[part](t)

Hvor X[hom](t) er den fuldstændige løsning til det tilsvarende homogene differentialligningssystem, som kan bestemmes vha. egenværdimetoden hvis den geometriske multiplicitet af de til systemmatricen hørende egenværdier netop er lig den algebraiske.

Den partikulære løsning bestemmes f.eks. ved gættemetoden, et oplagt gæt er i denne sammenhæng:
k1*t + k .

Håber du forstår mine begreber, ellers må du lige skrive tilbage.

//Sentinox

Tak for svaret. Jeg er helt med på at løse det homogene system. Kan du uddybe, evt løse systemet ovenfor, mht den partikulære løsning? Hvordan er det præcis jeg finder den? Det der forvirre mig er at t er knyttet til y'(t) og x(t).

Givet lineært inhomogent differentialligningssystem af formen:

X'(t) = A.X(t) + t*u
hvor X(t) = [x(t),y(t)]^T, A = matrix(2,2,[2,-3,-1,0]), u = [0,1]

Vi benytter gættemetoden, og antager en løsning af
formen k1*t + k2, hvor k1 og k2 er vektorer (2x1), ved indsættelse i differentialligningssystemet fås (på vektor/matrixform):

k1 = A.(k1*t + k2) + t*u =>
k1 = A.k1*t + A.k2 + t*u

ved at kigge på koefficienterne må det stå klart, at dette leder til to matrixligninger:

k1 = A.k2 og A.k1*t + t*u = 0

Vi kigger først på denne:

A.k1*t + t*u = 0 =>
A.k1 = - u, hvorfor k1 kan bestemmes.

Herefter kan k2 bestemmes tisvarende ved indsættelse i den anden matrixligning.

Håber dette gør det klart?

Jeg har ikke rigtig skrevet det ind til dig her med tal, da jeg ikke helt kan finde en snedig måde at skrive matricer op på, så det ikke bliver noget rod.

//Sentinox

Okay - mange tak. Det bliver nok klart når jeg har kigget lidt på det i hvert fald.