Funktionalligning

Ups... jeg kan også sagtens se, at må være en monoton, ikke-voksende funktion.

Argh...

"se, at må være" -> "se, at f må være"

Træls... jeg kan ikke lukke det op... kan du beskrive herinde?

Nej, det er alt for besværligt. Har du ikke en mailadresse jeg må sende opgaven til?

Please...

Eftersom vi antager, at f er en funktion fra R^+ til R^+ kan vi bruge den arkimediske egenskab for R til at indse, at der findes et heltal n så

nf(x+1)=>1.

Den arkimediske egenskab følger let, så snart man har overbevist sig om, at for ethvert reelt x findes et naturligt større end x. I så fald gælder for ethver reelt y og positivt x, at der findes et naturligt tal n>y/x og egenskaben følger da. Hvis du vil være mere stringent, skal du kende til supremumsbegrebet.

Til næste ligning skal du blot sætte

x'=x+k/n og y=1/n

For den sidste vurdering i denne linie, bemærk at

f(x+1)=>1/n

og heraf for k=0,...,n-1

f(x+k/n)=>1/n

Dvs. den sidste ulighed fremkommer faktisk ved en vurdering på formen

c<=a => a*b/(a+b)=>c*b/(c+b).

Tjek selv, at implikationen er korrekt!
Her er c konkret givet ved 1/n.

Næste ulighed f(x)-f(x+1)=>1/2 fås ved at summere begge sider fra k=0 til k=n-1; det er en teleskopsum, altså en sum på formen

sum(a_k-a_{k+1},k=0..n-1)

som har summen a_0-a_n (tjek selv!).

Af den Arkimediske egenskab findes nu m, så m=>2f(x). Dvs. skriver vi nu f(x)-f(x+m) op som teleskopsum som før fås:

f(x)-f(x+m)=sum(f(x+i)-f(x+i+1),i=0..m-1)

ses at hvert led er større end eller lig 1/2, altså er summen større end eller lig m/2. Den sidste ulighed følger nu af antagelsen m=>2f(x). Modstriden er nu oplagt.

Du kan sende mig en besked via systemet her, så jeg slipper for at eksponere min adresse for offentligheden - jeg vil gerne se hvad det går ud på.

Til #6:

Mange tak!


Til 7#:

Vis at der ikke findes nogen funktion f : R^+ -> R^+ så

f(x)^2 >= f(x+y)(f(x)+y)

for vilkårlige positive, reelle tal x og y.