Matematik
Grænseværdi og kontinuitet
Definer funktionen f_n : R --> R for n i N ved, at
f_n(t) = t^(2n)/(1+t^(2n))
for t i R.
a) Vis, at f(t) = lim(n --> uendelig)f_n(t) eksisterer for ethvert t i R, og at
f(t) = 0 for ¦t¦<1
f(t) = 1/2 for ¦t¦=0
f(t) = 1 for ¦t¦>1
b) Gør rede for, at den punktvise grænseværdi af en følge af kontinuerte funktioner ikke nødvendigvis er kontinuert.
Jeg har ingen anelse om hvordan jeg skal løse nogen af de to spørgsmål, så jeg vil meget gerne have hjælp.
Svar #1
02. april 2007 af sheaf (Slettet)
|t| < 1,
|t| = 1 [bemærk din skrivefejl i #0],
|t| > 1
følger naturligt af t^(2n) er aftagende, konstant, respektive voksende i disse. Resten følger af forhåbentlig kendt viden om grænseværdier for uægte brudne rationale funktioner; alternativt ved polynomiers division efterfulgt af trivielle overvejelser.
b) Spørgsmål (a) er netop et eksempel på dette. Årsagen er, at følgen i (a) ikke er _uniformt_ konvergent. Det er kun for uniformt konvergente funktionsfølger af kontinuerte funktioner at egenskaber såsom kontinuitet, differentiabilitet og integrabilitet (de to sidste med yderligere restriktioner) kan overføres på grænseværdien.
Svar #2
02. april 2007 af Jeg_er_mig (Slettet)
Jeg synes ikke lige jeg kan få det til at passe. Kan du overtales til at tage enten tilfældet |t| < 1 eller |t| > 1 for mig, for |t| = 1 er jo nemt? Hvis jeg har det ene, kan jeg sikkert godt finde ud af det andet.
Til b)
Jeg glemte helt at skrive, at jeg godt kunne se at tilfældet i a) viste at det ikke nødvendigvis altid gælder, men det var nu mere forklaringen herpå jeg søgte, men det var så pga. uniform konvergens (eller mangel på samme, om man vil)! Er der en sætning som siger dette, eller er det noget man "bare" kan se/ved?
Tak for hjælpen!
Svar #3
02. april 2007 af sheaf (Slettet)
Tilfældet |t| < 1.
Vælg et t1 i ]-1,1[ og skriv
f_n(t1) = 1 - 1/((t1)^(2n)+1)
Da (t1)^(2n) -> 0 for n -> oo hvad kan du så konkludere om lim[n->oo]f_n(t1) ?
ad b)
Det er der en sætning, der udtaler sig om. Hvis dit lærebogsmateriale er fornuftigt organiseret falder denne opgave netop som indledning til den.
Svar #4
03. april 2007 af Jeg_er_mig (Slettet)
Åh ja; det er jo ikke så svært, når man lige ser det. Det var bestemt hint nok, så jeg siger mange tak!
Til b)
Hmmm! Har denne sætning et navn? Hvis ikke, kan du så overtales til at formulere den præcist for mig (jeg behøver ikke et bevis), så jeg kan bruge den en anden gang?
Svar #5
03. april 2007 af sheaf (Slettet)
Lad (f_n)_n være en uniformt konvergent følge af kontinuerte følge med grænseværdi f. Så er f kontinuert.
Der gælder desuden, at såfremt ydermere alle f_n er differentiable og deres afledede f_n' konvergerer uniformt med grænseværdi g, så er f differentiabel og dens afledede er g.
Der findes tilsvarende resultater vedrørende integrabilitet, men den præcise formulering afhænger af, hvilken integraldefinition man anvender.
Skriv et svar til: Grænseværdi og kontinuitet
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.