Matematik
Bevis (lnx)' = 1/x og (e^x)' = e^x
02. maj 2007 af
sprit (Slettet)
Hvordan beviser jeg, at (lnx)' = 1/x og (e^x)' = e^x?
Svar #1
02. maj 2007 af Bruger slettet (Slettet)
Start med at tegne funktionen 1/x. Så ser du, at for x positiv og tilvæksten h positiv (arealet under kurven, der bliver ln(x+h) -ln(x). Du får en ren geometrisk betragtning, hvor du når frem til:
1/(x+h)mindre end (ln(x+h)-ln(x)/hmindre end 1/x.
Så ser du på grænseværdien, når h går mod 0 fra højre (squize-teoremet:
lim(ln(x+h)-ln(x)/h går mod 1/x, når h går mod 0 fra højre.
Altså, i din opgave er der tale om helt geometriske betragtninger krydret med grænseværditeoremet, og start nu med at tegne kurven samt det rektangel, der begrænses af værdierne x+h og x samt y=1/x.
Det var 1. del af opgaven.
2. dal:
Sæt y=e^x så får du x=ln(y), der differentieret giver 1=1/y*(dy/dx) medfører at dy/dx=y=1/x.
Vi finder nu det bemærkelsesværdige resultat at exponentionalfunktionen er sin egen afledede.
Venlig hilsen
Erik Morsing
[email protected]
OK?
1/(x+h)mindre end (ln(x+h)-ln(x)/hmindre end 1/x.
Så ser du på grænseværdien, når h går mod 0 fra højre (squize-teoremet:
lim(ln(x+h)-ln(x)/h går mod 1/x, når h går mod 0 fra højre.
Altså, i din opgave er der tale om helt geometriske betragtninger krydret med grænseværditeoremet, og start nu med at tegne kurven samt det rektangel, der begrænses af værdierne x+h og x samt y=1/x.
Det var 1. del af opgaven.
2. dal:
Sæt y=e^x så får du x=ln(y), der differentieret giver 1=1/y*(dy/dx) medfører at dy/dx=y=1/x.
Vi finder nu det bemærkelsesværdige resultat at exponentionalfunktionen er sin egen afledede.
Venlig hilsen
Erik Morsing
[email protected]
OK?
Skriv et svar til: Bevis (lnx)' = 1/x og (e^x)' = e^x
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.