Matematik

Bevis for differentiation af ln(x)

07. maj 2007 af Christinana (Slettet)

Hvordan beviser jeg, at ln'(x) = 1/x?

Vi har gennemgået beviser for differentialkvotienten af sqrt(x), 1/x, x^n og flere, som jeg ikke lige kan huske, men vi har ikke for ln(x)... jeg kan ihvert fald ikke finde det i mine noter eller bøger.

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. maj 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Beviset for at d(lnx)/dx = 1/x hviler netop på e^x.
Jeg vil gøre sådan her:
ln x = y
x=e^y
dx/dy=e^y og 1/(e^y) = dy/dx = 1/x

Svar #2
07. maj 2007 af Christinana (Slettet)

Jeg forstår ikke helt din notation, burde det ikke være d(lnx) dx = 1/x (dvs. ikke nogen brøk på venstre side)?

Men... er problemet ikke, at jeg også skal bevise (e^x)' = e^x?
Og derudover har vi ikke rigtig haft om diffentiation af inverse funktioner, vores lærer har brugt 5 min på at fortælle os om det (det er åbenbart ikke pensum efter reformen mere...)

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. maj 2007 af Bruger slettet (Slettet)

Du kan kun bevise det ved grænseværdidefinitionen. Hertil er det bedst at tegne det op.
Det bliver for omfattende at skrive det hele her, men hvis du starter med at tegne funktionen y=1/x, og så kigger på et bestemt areal sammenholdt med grafen, så når du frem til noget med f(x)*dx o.s.v. Du kan finde beviset på nettet, det er jeg ret sikker på.

V.h.
Erik Morsing.

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. maj 2007 af stræber-pigen (Slettet)

#3 Behøves man ikke, hvis man redegøre som mig..

Brugbart svar (0)

Svar #5
07. maj 2007 af Bruger slettet (Slettet)

Svar til Julia, jeg fastholder, at beviset hviler på grænseværdidefitioner. Dit bevis duer ikke, det bygger på kendskab til noget, vi ikke har defineret endnu!!
Erik Morsing.

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. maj 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Som sagt hviler beviset på eksistensen af funktionen e^x = f(x). Derfor er beviset brugbart..

Brugbart svar (0)

Svar #7
07. maj 2007 af mathon

se
http://peecee.dk/?id=44192

Brugbart svar (0)

Svar #8
07. maj 2007 af Bruger slettet (Slettet)

Til Julia
Det bliver ikke mere rigtigt af at blive gentaget. Du beviser noget på baggrund af noget, der ikke er bevist.

Beviset kan du finde i Calculus, (Robert E. Adams) side 215.
Vi laver først definitionen
ln(x) = A1, hvis x større eller lig 1
ln(x) = -A1, hvis x ligger mellem 0 og 1.

Beviset går nu på at Newton kvotienten for ln(x) tilfredsstiller uligheden:
1/(x+h)<(ln(x+h)-ln(x))/h<17x
Vi lader nu h gå mod 0 fra højre og bruger Squeeze teoremet så vi får
Lim((ln(x+h)-ln(x))/h = 1/x

Sådan fortsætter det, indtil man har:

d/dx(ln(x)) = ((ln(x+h)-ln(x))/h =1/x

De to egenskaber d/dx(ln(x)) = 1/x og ln(1) = 0 er tilstrækkeligt til at bestemme funktionen ln(x) fuldstændig.

Lidt ærgeligt, at jeg er tvunget til at skrive så meget om det, men jeg kan jo så håbe, at en anden matematikkyndig vil give mig ret.

V.h.
Erik Morsing.

Svar #9
08. maj 2007 af Christinana (Slettet)

Jeg er... forvirret :)
Indtil videre har jeg fået tre forskellige beviser, hvor to af dem påstås at være forkerte. Ikke fordi jeg forstår dem elle det sidste, som ingen har sagt noget om :)

Brugbart svar (0)

Svar #10
08. maj 2007 af Bruger slettet (Slettet)

Så tag dem i skole og spørg din lærer, dernæst planter du svaret herinde.

V.h.
Erik Morsing.

Brugbart svar (0)

Svar #11
08. maj 2007 af stræber-pigen (Slettet)

#10 Er den Calculus-bog lilla? :)

Brugbart svar (0)

Svar #12
08. maj 2007 af Bruger slettet (Slettet)

Nej, den er blå.
V.h.
Erik Morsing.

Brugbart svar (0)

Svar #13
09. maj 2007 af stræber-pigen (Slettet)

#12 Ja det så ik?

Skriv et svar til: Bevis for differentiation af ln(x)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.