Matematik

Fundamentalmatrix

09. maj 2007 af Madsst (Slettet)

Hejsa. Jeg skal i en opgave bestemme fundamentalmatricen (resolventen) til et system af diffentialligninger:
dz/dt=Az, hvor A er en 3 x 3 matrix. Jeg har fundet egenværdier og egenrum for matricen og løst ligningssystemet. Der står meget lidt om denne fundamentalmatrix i min bog og jeg kan simpelthen ikke gennemskue hvad det er for noget. Er der en der kan hjælpe mig lidt på vej?

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. maj 2007 af sigmund (Slettet)

Vi har følgende definition:

Til ethvert sæt af n lineært uafhængige løsninger x_1(t), x_2(t),...,x_n(t) til det homogene differentialligningssystem x'(t)=F(t)x(t) knyttes en _fundamentalmatrix_ Phi(t)=[x_1(t) x_2(t) ... x_n(t)], t E ]a,b[, hvis søjler til ethvert t E ]a,b[ består af vektorerne x_i(t), i=1,...,n.

Forstår du nu, hvad der spørges om?

Svar #2
09. maj 2007 af Madsst (Slettet)

Hmm... Ikke helt nej. X_i(t) er mine egenvektorer? Er det bare at lade egenvektorerne være billedvektorer i en matrice?

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. maj 2007 af Mimical (Slettet)

Kan du ikke lægge opgaven ud. det har vel noget med Markov kæder at gøre, står lidt om det i Robert Messer Linear Algebra.

Svar #4
09. maj 2007 af Madsst (Slettet)

Jeg er faktisk lidt blank på hvad det har med at gøre :)
Opgaven lyder:

Jeg har et system af differentialligniger:

dz/dt=Az (*), hvor A er en matrice,

1 sqrt2 0
A = sqrt2 2 0
0 0 7
(1) Vis at A er singulær og bestem N(A)
(2) Bestem egenværdier og egenrum for A
(3) Bestem den fuldstændige løsning til (*)
(4) Bestem fundamentalmatricen P(0,t), for ethvert
t E R, idet P(0,0) = E ( 3 x 3 enhedsmatricen )

Svar #5
09. maj 2007 af Madsst (Slettet)

Hmm... A=
1 sqrt2 0
sqrt2 2 0
0 0 7

Brugbart svar (0)

Svar #6
09. maj 2007 af sigmund (Slettet)

#2,

Hvis k er en reel egenværdi for matricen A og en tilhørende egenvektor, er x(t)=v*e^(k*t) en løsning til x'(t)=A*x(t), t E R.

Ud fra dette kan du opskrive den fulstændige løsning til differentialligningssystemet.

Da du i dette tilfælde har tre forskellige egenværdier, med tilhørende egenvektorer, der indbyrdes er lineært uafhængige, har du tre løsninger (x_1, x_2, x_3). Den fuldstændige løsning er en linearkombination af x_1, x_2 og x_3. Endeligt er fundamentalmatricen givet ved P=[x_1 x_2 x_3], dvs. en matrix med de tre løsninger som søjler.

Klarede det lidt op nu?

Svar #7
09. maj 2007 af Madsst (Slettet)

Ja okay. Og med løsninger mener man altså ikke kun egenvektorerne, men e^at*v, hvis a er egenværdi og v egenvektor? Hvad er egentlig ideen med at putte det ind i en matrice?

Svar #8
09. maj 2007 af Madsst (Slettet)

Mange tak i øvrigt! Det var super!

Brugbart svar (0)

Svar #9
10. maj 2007 af sheaf (Slettet)

#7
Det er der ingen dybere mening med udover at drage fordel af den kompakte matrixnotation. Med den kompakte notation følger en overskuelighed, der ellers let ville gå tabt i detaljer.

Et system af lineære, homogene differentialligninger y'=Ay med tilhørende fundamentalmatrix Y(x) har de homogene løsninger y_h = Y(x)c, hvor c er en vektor af i almindelighed komplekse konstanter. For et begyndelsesværdiproblem y_0=y(x_0) er konstanten bestemt ved c=Y^(-1)(0)x_0.

Til en fundamentalmatrix knytter man tillige en overføringsmatrix defineret som Y^(x)=Y(x)Y^(-1)(0). Den har en række pæne egenskaber, som fundamentalmatricen ikke besidder.

Fundamentalmatricen er et specialtilfælde af en resolvent. Resolventen af en lineær operator (her operatoren med fremstillingen A) på et separabelt Hilbertrum er en størrelse man benytter til at studere spektret af operatorer. I funktionalanalysen er spektret af en operator en generalisering af begrebet egenvektorer.

Svar #10
10. maj 2007 af Madsst (Slettet)

#9 Tak. Så det er i virkeligheden bare bekvem måde at håndtere initialbetingelser... Er resolvtenten det samme som fundamentalmatricen i dette tilfælde? Der står i parantes (resolventen) ved fundamentalmatrix. I en anden opgave står også at jeg skal finde resolventen, men ikke noget med fundamentalmatrix. Er det samme fremgangsmåde som her?

Skriv et svar til: Fundamentalmatrix

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.