Matematik
Parameterfremstilling
11. maj 2007 af
Lehatti (Slettet)
Som et led i min læseplan er jeg gået igang med et regne eksamensopgaver. Jeg er dog stødt på en, sikkert elementær, opgave. Here goes:
En keglesnitsfalde er givet:
z = -(x^2/4)-y^2+1
Gør rede for at keglesnitsfladens skæringskurve K med(x,y)-planen kan beskrives ved parameterfremstillingen
r(t) = (2*cos(t),sin(t),0) , t[0;2Pi]
Jeg søger lidt en detaljeret forklaring - håber nogen kan hjælpe. :)
En keglesnitsfalde er givet:
z = -(x^2/4)-y^2+1
Gør rede for at keglesnitsfladens skæringskurve K med(x,y)-planen kan beskrives ved parameterfremstillingen
r(t) = (2*cos(t),sin(t),0) , t[0;2Pi]
Jeg søger lidt en detaljeret forklaring - håber nogen kan hjælpe. :)
Svar #1
11. maj 2007 af holretz (Slettet)
Da det er skæringen med (x,y)-planen må z=0.
Så kan du skrive 0 = - (x^2)/4 - y^2 + 1
Du ved at x = 2*cos(t) og y=sin(t)
Så x^2 =4*cos^2(t) og y^2 = sin^2/t)
indsat i ligningen:
0 = - 4*cos^2(t) /4 - sin^2(t) +1 <=>
0 = - cos^2(t) - sin^2(t) + 1 <=>
0 = -1 + 1 (ved at bruge hovedrelationen
mellem sinus og cosinus)
Så kan du skrive 0 = - (x^2)/4 - y^2 + 1
Du ved at x = 2*cos(t) og y=sin(t)
Så x^2 =4*cos^2(t) og y^2 = sin^2/t)
indsat i ligningen:
0 = - 4*cos^2(t) /4 - sin^2(t) +1 <=>
0 = - cos^2(t) - sin^2(t) + 1 <=>
0 = -1 + 1 (ved at bruge hovedrelationen
mellem sinus og cosinus)
Svar #2
11. maj 2007 af mathon
#0
følgende fremstilling er gammel vin på ny flaske = en fremstilling helt tæt op ad holretz' i #1,
men
i en lettere ændret femstillingsrækkefølge.
Vælg den du finder dig bedst tilrette med
(x,y)-planens ligning er z=0,
hvoraf
for keglesnitsfladens skæringskurve K med(x,y)-planen:
0 = -(x^2/4)-y^2+1
eller
(x^2/4) + y^2 = 1, som lettere omskrevet giver
x^2/2^2 + y^2 = 1 (hvilket er ligningen for en ellipse)
(x/2)^2 + (y)^2 = 1, der til sammenligning med
(cos(t))^2 + (sin(t))^2 = 1, viser
at
x/2 = cos(t) og y = sin(t)
og dermed
x = 2cos(t) og y = sin(t)
stedvektoren
r=(x,y,z) = (2cos(t),sin(t),0) og er således en funktion af t, hvorfor
den kan udtrykkes:
r(t) = (2cos(t),sin(t),0)
følgende fremstilling er gammel vin på ny flaske = en fremstilling helt tæt op ad holretz' i #1,
men
i en lettere ændret femstillingsrækkefølge.
Vælg den du finder dig bedst tilrette med
(x,y)-planens ligning er z=0,
hvoraf
for keglesnitsfladens skæringskurve K med(x,y)-planen:
0 = -(x^2/4)-y^2+1
eller
(x^2/4) + y^2 = 1, som lettere omskrevet giver
x^2/2^2 + y^2 = 1 (hvilket er ligningen for en ellipse)
(x/2)^2 + (y)^2 = 1, der til sammenligning med
(cos(t))^2 + (sin(t))^2 = 1, viser
at
x/2 = cos(t) og y = sin(t)
og dermed
x = 2cos(t) og y = sin(t)
stedvektoren
r=(x,y,z) = (2cos(t),sin(t),0) og er således en funktion af t, hvorfor
den kan udtrykkes:
r(t) = (2cos(t),sin(t),0)
Svar #3
11. maj 2007 af Lehatti (Slettet)
Tak for de gode svar. :) Kunne ikke lige se sammenhængen, men der gælder selvf. at a = sqrt(4) (eller a^2).
Fortsat god dag, kan være der kommer et spørgsmål til om et par dage!
Fortsat god dag, kan være der kommer et spørgsmål til om et par dage!
Skriv et svar til: Parameterfremstilling
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.