Matematik

Induktion eller deduktion?

12. maj 2007 af hiat (Slettet)

Er flg. beviset induktivt eller deduktivt?

Beviset for (x^n)' = nx^(n-1) laves ved at udregne x^1, x^2, x^3, x^4 osv.
Til sidst antages det så, at (x^n)' = nx^(n-1) gælder, og x^(n+1) udregnes, hvilket giver det korrekte resultat.
Sig til, hvis jeg skal uddybe beviset, håber I kender det!

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. maj 2007 af ibibib (Slettet)

Der er induktion.

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. maj 2007 af Darwin (Slettet)

Induktion.

NB startbetingelsen er x'=1 (first principles).

NB resultatet er kun gyldigt for n=1,2,3,4,... etc.

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. maj 2007 af sigmund (Slettet)

Det er et induktionsbevis.

For n=1: (x¹)'=1*x^(1-1)=1, hvilket er sandt. Vi antager, at det gælder for n=m, og viser det for n=m+1: (x^(m+1))'=(x*x^m)'=(x^m)+x*m*x^(m-1)=x^m+x*m*x^m*x^(-1)=x^m+m*x^m=(m+1)x^m, hvilket, ifølge antagelsen, gælder. Dermed konkluderer vi, at det påståede gælder for alle naturlige tal n.

Svar #4
12. maj 2007 af hiat (Slettet)

Tak for den hurtige hjælp.

#2 Jeg forstår godt den første NB, men hvorfor er resultatet kun gyldigt for N+? Og hvordan skal jeg vise, at bevist gælder for n tilhører R?

Svar #5
12. maj 2007 af hiat (Slettet)

Kunne I give et eksempel på et deduktionsbevis?

Brugbart svar (0)

Svar #6
12. maj 2007 af sigmund (Slettet)

#4,

At det gælder for alle n, kan du ikke bevise ved induktion. Prøv omskrivningen x^n=e^(n*ln(x)), og tag den afledte på begge sider.

#5,

Jeg kender ikke nok til matematisk logik, til at give dig et eksempel. Wikipedia har dog en lang artikel om emnet: http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_deduction .

Svar #7
12. maj 2007 af hiat (Slettet)

Hmm, beviset starter jo med, at man "ved", at x' = 1. Hvordan det? Jeg bruger jo netop (x^n)' = nx^(n-1) til at vise at x' = 1? Hvordan ved man så, at x' = 1?

Svar #8
12. maj 2007 af hiat (Slettet)

#6
Jo, det kan jeg godt se, men så skal jeg vel også vise, at (e^x)' = e^x (eller nærmere e^(f(x))' = f'(x)*e^(f(x)), men det kan jeg vise ved formlen for sammensatte beviser (som jeg i øvrigt heller ikke kender beviset på! :) Vi kan kun lært beviserne for f+g, f-g, f*g og f/g), hvilket jeg ikke kender beviset for.

Mht. #7, kan jeg ikke bruge tretrinsreglen der?

Brugbart svar (0)

Svar #9
12. maj 2007 af Waterhouse (Slettet)

#7:

At x'=1 kan du vise ved definitionen på differentialkvotient. Vi opstiller differenskvotienten for f(x)=x:

[f(x)-f(x0)]/[x-x0] =
(x-x0)/(x-x0) =
1

...og hvis vi så lader x gå mod x0 får vi det ønskede.

Brugbart svar (0)

Svar #10
12. maj 2007 af sigmund (Slettet)

#8,

Vha. tretrinsreglen fås

x' = lim{h->0} (x+h-x)/h = lim{h->0} h/h = lim{h->0} 1 = 1.

For den afledte af e^x, se http://www.ies.co.jp/math/java/calc/dif_e/dif_e.html .

Om den afledte af en sammensat funktion, står der masser (også et bevis) på http://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule .

Svar #11
12. maj 2007 af hiat (Slettet)

#9 Jeps, got it.

Svar #12
12. maj 2007 af hiat (Slettet)

#10
Tak for linkene, dem kigger jeg på, hvis jeg skal op i mdt. eksamen.
Jeg er ikke sikker på, at vi skal kunne dem.

Tak for hjælpen til jer alle!

Brugbart svar (0)

Svar #13
12. maj 2007 af blackduck (Slettet)

Pas på med ikke at rode begreberne sammen. I gymnasiesammenhæng vil induktivt som regel bare betyde, at man fx. ser at sætningen du snakker om er rigtig for de første 3-4 naturlige tal, og deraf uformelt konkludere, at den også må gælde for resten af de naturlige tal. Mere overordnet kan man sige, at et ræsonnement, der drager en generel konklusion på baggrund af iagttagelser af en række specielle tildfælde, kaldes induktivt ræsonnement.

Et induktionsbevis er derimod en yderst præcis og veldefineret bevismetode, der bygger direte på et aksiom for de naturlige tal. Det betyder også, at et induktionsbevis er deduktivt ræsonnement.

Svar #14
12. maj 2007 af hiat (Slettet)

#13
Det er sikkert rigtigt nok. Men i gymnasiesammenhæng - who cares? :)

Brugbart svar (0)

Svar #15
12. maj 2007 af stræber-pigen (Slettet)

#0 Jeg har hele beviset ! Det er langt men flot! Skal jeg sende det?

Svar #16
12. maj 2007 af hiat (Slettet)

#15 Det må du meget gerne, jeg sender en privatbesked til dig med min email.

Skriv et svar til: Induktion eller deduktion?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.