HJÆLP med differentialligning

Du skal starte med at isolere x og y, gør det først og sæt det så herind.
V.h.
Erik Morsing.

dy/dx = -(y-x)^2 + 1

og grafen for f går gennem punktet P(1,3).

Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.

-----------------------------

dy/dx = -(y-x)^2 + 1

betyder

f'(x)= -(f(x)-x)^2+1

så

f'(1)= -(f(1)-1)^2+1

f'(1)= -(3-1)^2+1

f'(1)= -2^2+1 = -4+1 = -3

Nu er jo tangent-ligningen på formen

y = f(xo)+f'(xo)(x-xo)

herfra er det så bare at klaske ind i ligningen:

y = f(1)+f'(1)(x-1)

y = 3 - 3(x-1)

y = 3 - 3x + 3

y = -3x + 6 (<-her har du så tangent-ligningen).


-------------------------

At g(x) = (x + 1)^-1 + x

er løsning til

dy/dx = -(y-x)^2 + 1

kommer ud på at vise at

f'(x)= -(f(x)-x)^2+1

men nu blot med g:


g'(x)= -(g(x)-x)^2+1


... prøv nu selv.

Meget fikst, men er det ikke nemmere, blot at sætte de opgivne x- og y-værdier ind på højre side af ligningen. Så ses differentialkvotienten umiddelbart at være -3?
Derefter er det blot at skrive tangentligningen. Mit forslag om at isolere bliver noget besværligt, kan jeg godt se.

V.h.
Erik Morsing.

f'(1) = -(3-1)^2 + 1 = -2^2 + 1 = -4 + 1 = -3

tangentligning i P(1,3):

y-3 = -3(x-1)




g(x) = (x + 1)^(-1) + x

g'(x) = -(x + 1)^(-2)+1 = -[(x + 1)^(-1)+x-x]^2 + 1 =

-(y-x)^2 + 1,

hvoraf

g(x) er løsningen til dy/dx = -(y-x)^2 + 1