Matrixregning

Det er produktet af diagonalelementerne.

"because u'Mu is a scalar, it equals its trace". Hvad vil det sige?

En skalar a opfattes som en 1x1-matrix [a], sporet af den er a. Så sporet af skalaren a opfattes som 1x1-matrix er lig a. Så sp(u'Mu) = u'Mu.

"vade mig igennem det. "

Sporet er summen af diagonalelementerne. Det er en lineær operator og sporet ændrer sig ikke ved transponering (fordi diagonalen er urørt).

Er dit egentlige spørgsmål hvorfor sp(X(X'X)^(-1)X) = k+1 ?

Tak! Ja, så giver det mere mening.
#2 Ja, det er den der jeg mangler at forstå nu.

#2 Kan du også forklare mig hvorfor
tr(u'Mu)=tr(Muu')?

I grunden må der skulle stå sp(X(X'X)^(-1)X'). For (X'X)^(-1) er (k+1)x(k+1) og kan ikke multipliceres med X som er n x (k+1).

Det er muligt der er en langt smartere måde baseret på de informationer du har i din tekst, men her er een mulighed.

Produktet af en matrix X og dens transponerede er en symmetrisk matrix som har en symmetrisk invers. Skriv f.eks. elementerne i X'X som (jeg springer LaTeX'en over)

y11..y1,k+1
:
yk+1,1...yk+1,k+1

Den inverse (X'X)^(-1) er givet ved

A11/|A|...A1,k+1/|A|
:
Ak+1,1/|A|...Ak+1,k+1/|A|

hvor A_ij er komplementet til y_ij og |A|=det(X'X). Denne determinant kan skrives på enhver af de k+1 måder:

|A| = sum{i=1->k+1)y_ri*A_ri

hvor r er rækkeindex.

Det viser sig nu - og det er du nødt til selv lige at prøve, for det er en større skriveøvelse - at produktet

X(X'X)^(-1)X' = (1/|A|)X[A11...A1,k+1 , ... , Ak+1,1...Ak+1,k+1]X'

i diagonalen får elementer hvis sum er på formen

y11*A11 + y12*A12 + ... + y1,k+1*A1,k+1 + (= |A|)

y21*A21 + y22*A22 + ... + y2,k+1*A2,k+1 + (= |A|)

:

yk+1,1*Ak+1,1 + yk+1,2*Ak+1,2 + ... + yk+1,k+1*Ak+1,k+1 + (= |A|)

og altså summerer til (k+1)|A|. Derfor er sp(X(X'X)^(-1)X') = (k+1)|A|/|A| = k+1.

Tak for det! Jeg kendte ikke lige den regneregel du brugte, så det var lidt svært synes. Jeg har til gengæld fundet ud af at man kan udnytte at:
tr(X(X'X)^-1X')=tr(XX'(X'X)^-1), således at det bliver tr(I_k+1)=k+1. Jeg er nu ikke helt med på hvorfor det er sådan, men det kan jeg i det mindste huske. Ellers mange tak!

Hov - der skulle stå:
tr(X(X'X)^-1X')=tr((X'X)^-1X'X)