Matematik
Bevis for differentialligning
17. juni 2007 af
Paggee (Slettet)
Hej. Jeg tænkte på om der var nogen der kunne hjælpe mig med at forstå beviset for, at løsningen til dy/dx = y(b-ay) er lig med y = (b/a)/(1+ke^-bx). I min bog fylder beviset næsten 2 sider og er virkelig forvirrende, så hvis I kender et andet sted jeg kan læse det kan det være en stor hjælp. Jeg har "Carstensen og Frandsen: Mat 3H". Men hvis I ikke kender til et sådant sted så vil det være fedt om I kunne forklare noget af det her.
Noget af det jeg ikke forstår er, at "der bliver altså 5 tilfælde, da der ingen krav er til h(x) = 1:
1) y > b/a 2) y = b/a 3) 0 < y < b/a 4) y = 0 5) y < 0"
hvor kommer de fem tilfælde fra og hvorfor vælger forfatterne af min bog at bevise ud fra kun tilfælde 3 (og meget kort 2 og 4)?
Noget andet er denne slutning:
"Her er g'(x) = -bg(x)+a en ligning af typen fra sætning 3 (om løsningen til dy/dx = ay+b), så den fuldstændige løsning er g(x) = a/b+c*e^-bx"
denne slutning fatter jeg simpelthen ikke. Kan I hjælpe mig?
Noget af det jeg ikke forstår er, at "der bliver altså 5 tilfælde, da der ingen krav er til h(x) = 1:
1) y > b/a 2) y = b/a 3) 0 < y < b/a 4) y = 0 5) y < 0"
hvor kommer de fem tilfælde fra og hvorfor vælger forfatterne af min bog at bevise ud fra kun tilfælde 3 (og meget kort 2 og 4)?
Noget andet er denne slutning:
"Her er g'(x) = -bg(x)+a en ligning af typen fra sætning 3 (om løsningen til dy/dx = ay+b), så den fuldstændige løsning er g(x) = a/b+c*e^-bx"
denne slutning fatter jeg simpelthen ikke. Kan I hjælpe mig?
Svar #2
22. juni 2007 af frk dahoej (Slettet)
Her netop også siddet og spekuleret over det bevis i samme bog = ) Synes det var lidt svært, men er ved at få styr på det.
Så vidt jeg har forstået er det beviset for den logistiske ligning, som er et andengradspolynomium der vender grenene nedad. Rødderne til dette 2.grads-polynomium er y = 0 og y = b/a. Dette kan man se hvis man indsætter i y'=y(b-ay), da y'=0. Det er derfor grafen bliver opdelt i tilfældene omkring 0 og b/a.
I bogen bliver der nu bevist at løsningen gælder for den del af grafen der er over x-aksen, og for de punkter som netop er polynomiets rødder.
Når der skrives at der ikke stilles nogen krav til
h(x)=1 er det fordi 1 er en konstant.
Mht. g(y)=y(b-ay) kan de inddeles i forskellige tilfælde, da y er variabel.
Den forige differentialligning i bogen er af typen:
y'=ay+b, og det er løsningen på den lignng der refereres til. g'(x) er blever omregnet til en differentialligning af denne type. Dvs. vi har nu fundet ud af hvad g(x) er.
Da g(x)=1/f(x) kan f(x) nu findes ved at sætte g(x) ind.
Håber det var en hjælp. Synes i hver fald lige det tager lidt tid at få styr på det her bevis
Så vidt jeg har forstået er det beviset for den logistiske ligning, som er et andengradspolynomium der vender grenene nedad. Rødderne til dette 2.grads-polynomium er y = 0 og y = b/a. Dette kan man se hvis man indsætter i y'=y(b-ay), da y'=0. Det er derfor grafen bliver opdelt i tilfældene omkring 0 og b/a.
I bogen bliver der nu bevist at løsningen gælder for den del af grafen der er over x-aksen, og for de punkter som netop er polynomiets rødder.
Når der skrives at der ikke stilles nogen krav til
h(x)=1 er det fordi 1 er en konstant.
Mht. g(y)=y(b-ay) kan de inddeles i forskellige tilfælde, da y er variabel.
Den forige differentialligning i bogen er af typen:
y'=ay+b, og det er løsningen på den lignng der refereres til. g'(x) er blever omregnet til en differentialligning af denne type. Dvs. vi har nu fundet ud af hvad g(x) er.
Da g(x)=1/f(x) kan f(x) nu findes ved at sætte g(x) ind.
Håber det var en hjælp. Synes i hver fald lige det tager lidt tid at få styr på det her bevis
Skriv et svar til: Bevis for differentialligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.