Differentiation

I princippet skal du blot differentiere det udtryk for y, som du har fået oplyst, og så kontrollere, at ligningen er opfyldt :-)

y = 0 er let at kontrollere. I det andet tilfælde har du fået oplyst, at

(1) y = M/(1+c*( e^(-a*M * x) ),

og det skal vises, at dette opfylder

(2) y’ = a*y*(M-y).

Efter som du ved at differentiere (1) kan få, at

y' = -M/( (1+[c*e^(-a*M * x)])^2 )*( -a*M*[c*e^(-a*M * x)] ),

er det let at se, ved at sætte den oplyste y og den udregnede y' ind i (2), at du "bare" skal vise, at

-M/( (1+[c*e^(-a*M * x)])^2 )*( -a*M*[c*e^(-a*M * x)] )

=

a*(M/(1+[c*( e^(-a*M * x) )])*(M-(M/(1+[c*( e^(-a*M * x) )]))

Men som man også let kan se, er det komplet håbløst!

Der må med andre ord gøres noget for at få tæmme dette monster. Mit forslag er at definere en funktion som svarer til c*e^(...) og og vise noget om dens afledede og så bruge dette. Mere konkret:

Definer dig følgende funktion:

g(x) = c*( e^(-a*M * x) )

De kantede parenteser ovenfor svarer til forekomster af g(x). Vis først at

(3) y = M*(1+g(x))^(-1)

Vis derefter, at

(4) g'(x) = -a*M*g(x)

Nu skal du differentiere (3) - vis, under brug af (4), at

(5) y' = a*y * M*( g(x)/(1+g(x)) )

Vi til sidst at

(6) M*( g(x)/(1+g(x)) ) = M - y

Ved at putte (6) ind i (5) kan du vise, at y' svarer til det, som angives i din ligning.

Først: 1000tak for din hjælp, men jeg har lidt problemer, for er allerede gået i stå, uden egentlig at være kommet i gang.. *s*
I (3) har du skrevet at jeg skal vise at:
y = M*(1+g(x))^(-1)
Hvordan gør jeg det?
Ved differation af
(1) y = M/(1+c* e^(-a*M * x) )?

Eller??

Nej! Pointen i strategien er at du laver en funktion (som jeg har kaldt g), som udgør en del af "indmaden" i det voldsomme udtryk (1) for y.

Jeg gentager lige (1)

(1) y = M/(1+[c*( e^(-a*M * x)] ).

Sammenlign dette med

g(x) = c*( e^(-a*M * x) )

I repetionn af (1) har jeg at [...], der hvor g gemmer sig.

Så skulle du kunne se, at

y = M/( 1 + g(x) )

Og da division er det samme som at gange med divisoren i minus første, har du

(3) y = M*(1+g(x))^(-1).

Formålet med dette første skridt er at få kogt det oprindelige udtryk (1) ned til noget, der er lidt nemmere. Det er nu gjort. Dette kan herefter differentieres v.h.a. sammensat differentiation.

Det er hvad de følgende skridt sigter imod.

Okay, det her synes jeg altså ikke er så faens nemt, men jeg er med indtil nr (4), dvs. jeg kan ikke helt forstå hvordan du ved brug af (4) kan vise, at

(5) y' = a*y * M*( g(x)/(1+g(x)) )
og resten...

Undskyld, hvis jeg er til for meget besvær..

Jo, men det er også et valg mellem pest og kolera... enten kan man prøve at differentiere på det rå udtryk og så se om man kan få det til at passe (pest: det er utrolig let at lave en fejl, som man bagefter ikke kan finde og som ødelæger det hele ) - eller man kan prøve det vi prøver nu (kolera: det kan være svært at bevare orienteringen og overblikket)...

Men lad os se om vi ikke kan komme igennem kolera'en:

Grunden til at jeg foreslår

(3) y = M*(1+g(x))^(-1)

er at jeg personligt synes potenser er de nemmeste at differentiere:

y' = M*(-1)*(1+g(x))^(-2) * g'(x)

Jeg regner med, at du HAR fået vist (4), altså sætter du udregningen af g'(x) ind på g'(x)'s plads i det vi nu er kommet til:

y' = M*(-1)*(1+g(x))^(-2) * (-a*M*g(x))

Nu HAR vi brugt (4), den behøves ikke mere. (3) y = M*(1+g(x))^(-1) skal også bruges... ( husk at (1+g(x))^(-2) = (1+g(x))^(-1)*(1+g(x))^(-1) ). Det skulle så være muligt i det nuværende udtryk for y' at genfinde y