Matematik

Integralet af e^x * sinx

23. juni 2007 af blakdor (Slettet)

Hej, er der ikke nogen der kan hjælpe mig med atløse §e^x * cosx dx, jeg bliver ved med at køre i ring og det er ret irriterende.

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

det bliver:
1/2*exp(x)*((cos(x) + sin(x))
Prøv først at se om det er korrekt

Brugbart svar (0)

Svar #2
23. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

du skal benytte formlen
integralet(U(x)*dV/dx * dx = U(x)*V(x)- integralet af
V(x)*dU/dx *dx,
man kalder det også antidifferentiation

Husk lige på produktreglen for differentiable funktioner!!

Start med at opfatte e^x som dV/dx

Svar #3
23. juni 2007 af blakdor (Slettet)

Tak for hjælpen, jeg tror, at jeg kan løse opgaven nu:

S e^x*cosx dx = e^x + cosx + e^x*sinx - S e^x *cosxdx <=> 2 S e^x*cosx dx = e^x(cosx + sinx) <=>
S e^x*cosx dx = 1/2* e^x(cosx + sinx)

Mvh. blakdor

Svar #4
23. juni 2007 af blakdor (Slettet)

hov, jeg skal lige rette en fejl:

S e^x*cosx dx = e^x*cosx + e^x*sinx - S e^x *cosx dx

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. juni 2007 af Duffy

"det bliver:
1/2*exp(x)*((cos(x) + sin(x))
Prøv først at se om det er korrekt"

Det er desværre ikke korrekt.

De korrekte stamfunktioner er:

1/2* e^x(cosx - sinx) + k

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

#5
når jeg differentierer din løsning får jeg
-e^x*sin(x)
og det var vist ikke udgangspunktet?

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. juni 2007 af Duffy

Næh!

Brugbart svar (0)

Svar #8
23. juni 2007 af sigmund (Slettet)

Det nemmeste må nok være først at omskrive cosinus ved brug af den komplekse eksponentialfunktion: cos(x)=[e^(i*x)+e^(-i*x)]/2. Så bliver integranden [e^{(1+i)x}+e^{(1-i)x}]/2. Integreres denne fås e^{(1+i)x}/(2+2i)+e^{(1-i)x}/(2-2i) (integrationskonstanten er udeladt ved denne mellemregning).

Nu ganges med 2-2i i tæller og nævner i første led, og med 2+2i i tæller og nævner i andet led:

(1-i)e^{(1+i)x}/4+(1+i)e^{(1-i)x}/4
= e^{(1+i)x}/4 + e^{(1-i)x}/4 + i*e^{(1-i)x}/4 - i*e^{(1+i)x}/4
= (e^x)/2[e^(i*x)+e^(-i*x)]/2 + (i*e^x)/2[e^(-i*x)-e^(i*x)]/2

Så ganger vi med i både i tæller og nævner i det andet led ovenfor:

(e^x)/2[e^(i*x)+e^(-i*x)]/2 - (e^x)/2[e^(-i*x)-e^(i*x)]/(2i)
= (e^x)/2[e^(i*x)+e^(-i*x)]/2 + (e^x)/2[e^(i*x)-e^(-i*x)]/(2i)
= (1/2)e^x[cos(x)+sin(x)].

I sidste linje har vi andvendt, at sin(x)=[e^(i*x)-e^(-i*x)]/(2i). I den tredje linje fra neden har vi anvendt, at i*i=-1.

Nu skrev jeg i begyndelsen, at dette nok var det nemmeste. Jeg ved ikke, om alle synes det. Fordelen er dog, at det ikke kræver andet, end at man kender stamfunktionen til eksponentialfunktionen samt hhv. sinus og cosinus udtrykt ved den komplekse eksponentialfunktion. Om de sidstnævnte står i gymnasiets formelsamlinger ved jeg ikke, da komplekse tal ikke er en del af det obligatoriske pensum (og eleverne følgelig ikke kender til regnereglerne for de komplekse tal, bl.a. at i*i=-1).

Brugbart svar (0)

Svar #9
23. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

#8
ved mange differentialligninger kan man slippe nemt igennem, hvis man bruger komplexe tal og funktioner, men ikke her, det er jo en hel roman, du har skrevet, hvor det kan læøses på 3 linier

Brugbart svar (0)

Svar #10
23. juni 2007 af Duffy

Ups!

Jeg kom til at bytte om på sin og cos:

De korrekte stamfunktioner er:

1/2* e^x(sin(x) - cos(x)) + k

Brugbart svar (0)

Svar #11
23. juni 2007 af Benjamin. (Slettet)

#10 Nej. Erik har ret. Differentiér din fundne funktion ordentligt, og du vil se, at du har lavet en regnefejl.
Hvis du ikke selv kan finde din fejl i integrations/differentiationsteknik, så brug evt.:
http://calc101.com/webMathematica/derivatives.jsp

Brugbart svar (0)

Svar #12
23. juni 2007 af Duffy

Ha ha. Nu nu kan jeg se hvor problemet ligger.

Indlæggeren har fucked funktionen op!!

Det er ikke 100% klart hvilken funktion der ønskes en stamfunktion til!!

Jeg har kigget i indlæggerens OVERSKRIFT, mens Erik kigger i indlæggets brødtekst.

Så jeg omfraserer hermed mit indlæg til dette:

De korrekte stamfunktioner til e^x * sinx
[eller sin(x)·e^x] er:

1/2* e^x*(sin(x) - cos(x)) + k

skrevet lidt mere læseligt:

1/2·(sin(x) - cos(x))·e^x + k

Svar #13
23. juni 2007 af blakdor (Slettet)

Ja undskyld forvirringen, jeg har lavet ged i den. Nu hvor jeg kigger på mit indlæg, er jeg ikke helt selv klar over hvad fanden jeg havde gang i. Undskyld.

Brugbart svar (0)

Svar #14
23. juni 2007 af sigmund (Slettet)

#9,

Du viser i indlæg #2 til partiel integration. Jeg kan ikke se, hvordan du kommer frem til et resultat ved at benytte partiel integration. Kan du ikke forklare, hvordan du udregner integralet af e^x * cos(x) ?

Brugbart svar (0)

Svar #15
24. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Jo! Kommer her:
Udgangspunktet er vores integral (forkortet I i det følgende:

I(e^x*cos(x))dx

Vi sætter U(x) = e^x og dV = cos(x)dx
Så er dU=e^xdx og V=sin(x) og dermed:

I = e^x*sin(x)-I(e^x*sin(x)dx

Vi sætter U=e^x og dV=sin(x)dx (vi er stædige og giver ikke op):

Så er dU=e^xdx og V=-(cos(x), og defor:

I=e^x*sin(x)-(-e^x*cos(x)+I(e^x*cos(x)dx

=e^x*sin(x)+é^x*cos(x)-I, så:

2*I=e^x*sin(x) + e^x*cos(x) +C1 og dermed:

I = (1/2)*(e^x*sin(x)+e^x*cos(x)) + C2 og skrevet lidt pænere:

I = 1/2*e^x*((sin(x) + cos(x))

Brugbart svar (0)

Svar #16
24. juni 2007 af Duffy

#3:

Nu skal jeg prøve at skære det ud i PAP:

[Det er åbenbart S (e^x*cosx) dx der ønskes fundet]

S (e^x*cosx) dx =

e^x · cosx - S (e^x · (-sinx))dx =

e^x · cosx - (e^x · (-sinx) - S (e^x · (-cosx))dx ) =

e^x · cosx + e^x · sinx + S (e^x · (-cosx))dx ) =

e^x · cosx + e^x · sinx - S (e^x · cosx)dx =

dvs

S (e^x*cosx) dx =

e^x · cosx + e^x · sinx - S (e^x · cosx)dx

<=>

S (e^x*cosx) dx + S (e^x*cosx) dx =

e^x · cosx + e^x · sinx - S (e^x · cosx)dx + S (e^x*cosx) dx

<=>

2·S (e^x*cosx) dx =

e^x · cosx + e^x · sinx - 0 + 2k

<=>

½·2·S (e^x*cosx) dx =

½·(e^x · cosx + e^x · sinx) + 2k

<=>

S (e^x*cosx) dx =

½·(e^x · cosx + e^x · sinx) + k =

½·e^x(cosx + sinx) + k

- Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #17
24. juni 2007 af sigmund (Slettet)

Tak, Duffy, for udpenslingen. Der kan man se. Det er helt klart enklere at benytte sig af partiel integration. Jeg forsøgte at gå via den komplekse eksponentialfunktion, da jeg i starten troede at det ville være lettere. Det viste sig dog ikke at være så let alligevel at gå den vej, men en sjov opgave alligevel.

Skriv et svar til: Integralet af e^x * sinx

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.