Matematik

Kontinuitet

24. juni 2007 af SirBille (Slettet)

Hejsa. Jeg sidder her og læser op til matematik mundlig (1-årigt forløb til A niveau), og har styr på alt nu skulle jeg mene. Men jeg kunne godt tænke mig at brilliere lidt :D Jeg sidder så og ligger mærke til at stort set alle mine beviser forudsætter at funktionerne er kontinuerte. Jeg ved godt hvad kontinuert vil sige (altså at funktionen ikke "hopper"), men jeg har så været lidt inde på wikipedia (http://da.wikipedia.org/wiki/Kontinuert), men jeg fatter non af det :D

Nogle der gider hjælpe med forståelsen af det, eller har et andet guldkorn de vil dele? Mange tak.

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. juni 2007 af Riemann

Hvis du virkelig vil brillere så brug følgende definition (Cauchys)

En funktion er kontinuert i et punkt c hvis der for alle epsilon større end nul findes en delta større end nul så, at når |x-c|<delta er |f(x)-f(c)|<epsilon

På wikipedia gives følgende forklaring:

"More intuitively, we can say that if we want to get all the f(x) values to stay in some small neighborhood around f(c), we simply need to choose a small enough neighborhood for the x values around c, and we can do that no matter how small the f(x) neighborhood is; f(x) is then continuous at c."

Se her http://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function#Cauchy_definition_.28epsilon-delta.29

___________

I min gamle gymnasiebog stod der at en funktion var kontinuert hvis

f(x)->f(x) for x->c.

Men så skal man jo også lige definere hvad man mener med grænseværdier for at kunne bruge den ovenstående definition...

Brugbart svar (0)

Svar #2
24. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

skal der ikke stå:
f(x)=>f(c) når x=>c?

Så er det samme definition som i #1 Man skal bare huske kontinuitet fra højre og venstre o.s.v.

Brugbart svar (0)

Svar #3
24. juni 2007 af Riemann

Der skal stå:

for

Brugbart svar (0)

Svar #4
24. juni 2007 af Riemann

Jeg prøvede på at skrive følgende

http://fys.ku.dk/~sparre/cont.png

Svar #5
24. juni 2007 af SirBille (Slettet)

#1 Tak. Men forstår bare ikke helt hvad der menes med "alle epsilon større end nul"

Brugbart svar (0)

Svar #6
24. juni 2007 af blackduck (Slettet)

#5

Forestil dig, at du får givet et vilkårligt tal større end nul. Dette kalder vi epsilon. Du skal nu give et delta som modsvarer dette epsilon, således som det er beskrevet i definitionen. Det er klart, at dette delta afhænger af det givne epsilon. Fx. kan delta være givet ved epsilon/2.

Det skal dog siges, at det kan være ganske svært at bevise at en funktion er kontinuert på denne måde. Der har du nok brug for at se en del eksempler eller lignende.

Svar #7
24. juni 2007 af SirBille (Slettet)

#6 Meget svært :D

Måske der er en lettere metode? Jeg syntes i hvert faldet det ser lidt mærkeligt ud :D

Men det betyder vel bare at:

Hvis man har et vilkårligt tal epsilon > 0 gælder at der er et tal delta > 0 for hvilke det gælder at alle x'er i difinitionsmængden mellem c - delta < x < c + delta opfylder at f(x) - epsilon < f(x) < f(x) + epsilon?

Brugbart svar (0)

Svar #8
25. juni 2007 af sontas (Slettet)

#7 det giver ikke helt mening! Definitionen på kontinuitet i et punkt a e Dm(f) er som følger: For ethvert epsilon > 0 findes der et delta e Dm(f), således at når x e Dm(f) og |x-a| < delta, så er
|f(x)-f(a)| < epsilon. Intuitivt vil det sige, at fjenden kommer med et epsilon > 0, og så vælger du et delta, således, at funktionsgrafen til f(x) over intervallet (a-delta,a+delta) ligger klemt inde mellem f(x)-epsilon og f(x) + epsilon. En mere praktisk definition på kontinuitet (tit lettere at anvende), er at urbilledet til enhver lukket (åben) mængde er lukket (åben), og der er også andre definitioner med punktfølger etc... men det ved jeg nu ikke om du gider høre om.

Skriv et svar til: Kontinuitet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.