Matematik

Ortogonale linier

28. juni 2007 af Garbokranen (Slettet)

I gymnasiet lærer man et bevis for, at hvis to linier er ortogonale, altså hvis de står vinkelret på hinanden, så er produktet af deres hældningstal -1.

I den bog jeg har haft mener jeg imidlertid ikke, at man viser det den anden vej, altså at hvis produktet af hældningstallene for to linier er -1, så er de ortogonale. Jeg har selv fundet på et relativt langt og besværligt bevis for dette, men er der nogen, der har et simpelt bevis, bare sådan af interesse?

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Hvis linien l har hældningkvotienten alfa så har linien m hældningskvotienten -1/alfa, når de er ortogonale

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Jo, du kan finde en enhedsvektor for l,( v/(v-num), den kan du så prikke med den tilsvarende for linien m, og så skull du gerne få 0

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. juni 2007 af Benjamin. (Slettet)

Ved brug af vektorer, kan man vise det både den ene og den anden vej. Den vej du ønsker:
Antag ac = -1 <=> c = -1/a.
Retningsvektoren for en linje med hældningen a kan skrives:
o = (1,a)
og en dennes tværvektor er:
ô = (-a,1)
Hvis linjen med hældningen a skal være ortogonal med en linje med hældningen c, så må vektoren til o, ô være parallel med retningsvektoren r til den linje med hældningen c. Dvs. man kan gange den ene vektor f.eks. ô med en konstant k for at få den anden (altså f.eks. r):
k·ô = r
<=> k·(-a,1) = (1,-1/a)
<=> k = -1/a.
Ergo må linjen med hældningen a og linjen med hældningen c være ortogonale.
Den anden vej fås også relativ let ved at bruge vektorer.
Se desuden artikel på wikipedia:
http://da.wikipedia.org/wiki/Forhold_mellem_ortogonale_linjer

Svar #4
28. juni 2007 af Garbokranen (Slettet)

Tak for svarene!

Svar #5
28. juni 2007 af Garbokranen (Slettet)

Grunden til at jeg spurgte var egentlig også, at jeg undrede mig over, at man ikke viser sætningen begge veje i gym. Hvis man nødvendigvis skal bruge vektorer i beviset, giver det dog mere mening, da man ikke har haft om vektorer på det tidspunkt.

Nogen der har en ide til et bevis, der kun anvender de metoder som en gymnasieelev kender til på det pågældende tidspunkt?

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. juni 2007 af Benjamin. (Slettet)

#5 Jeg er stadig gymnasieelev og det er det bevis, vi har lært på nuværende tidspunkt. Men prøv at se artiklen på wikipedia. Jeg skulle ikke mene, at der noget galt i at gå den anden vej. Altså fra ac = -1 til at vise, at Pythagoras' sætning gælder som vist, og dermed har man bevist sætningen begge veje. Det kræver dog, at man har vist Pythagoras' sætning begge veje, men det er vel noget man lærer forholdsvis tidligt i gymnasiet.

Brugbart svar (0)

Svar #7
28. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Du kan vise det med polære koordinater, tegn enhedscirklen og lad din x-koordinat være den ene linie.... o.s.v.

Svar #8
28. juni 2007 af Garbokranen (Slettet)

Nu vi er ved Pythagoras, hvordan viser man så, at hvis en trekant opfylder a^2 + b^2 = c^2, så er det en retvinklet trekant? Jeg mener da kun, at man lærer den anden vej i gymnasiet..?

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Prøv at tegne en 3-4-5 trekant, lav så alle felterne og lad siderne a,b og c være siderne i de tre kvadrater, du får frem
prøv lige det først og tæl så felterne

Brugbart svar (0)

Svar #10
28. juni 2007 af Benjamin. (Slettet)

Hvis du for en retvinklet trekant ABC med siderne a, b og c (som er hypotenusen) har vist, at a²+b²=c², og du opstiller en (indtil nu) vilkårlig trekant A_1B_1C_1 med siderne a_1, b_1 og c_1, hvor a_1 = a og b_1 = b, så må der gælde:
(a_1)²+(b_1)²=(c_1)² = c².
Dvs. c_1 = c og dermed må trekanterne være kongruente og vinklerne være ens.

Brugbart svar (0)

Svar #11
28. juni 2007 af hiat (Slettet)

Vi lærte et bevis uden brug af vektorer (som man ikke lærer om på B-niveau), men med trekantsbetragtninger. Det var relativt simpelt.
Jeg har afsluttet matematik i år og derfor brændt mine noter, så jeg kan ikke lige huske det :)

Skriv et svar til: Ortogonale linier

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.