Gödel

Historisk:
Kurt Gödel kom på sindsygehospital, man anerkendte ikke hans teorier - diagnosen lød på fejlærnæring. Ret så tankevækkende ikke?

Der står for øvrigt en masse om det her:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_second_problem

#1 Ja, Gödel er en spændende person at læse om (ligesom så mange andre matematikere i øvrigt!).

#0
Jeg ved ikke hvor meget hjælp det er til, men her er en oversættelse/omskrivning af Gödels beviser:

http://www.math.ku.dk/~rnest/Goedel/goedelsproof.pdf

Jeg kunne forestille mig, at man nok skulle have læst et par år på uni for at forstå det ;)

#0
Dit spørgsmål er vist stadig ubesvaret. Paradokset at Gödel’s to ufuldstændighedssætninger selv er formuleret i et aksiomatisk system som selv adresseres af sætningerne er kun tilsyneladende. Gödel’s sætninger omhandler selv-refererende aksiomatisk systemer; om hvad det er muligt og umuligt at udlede inden for rammerne af systemet selv. De udtaler sig ikke om hvad man i ét aksiomatisk system kan udlede om et andet. For en lidt nærmere redegørelse læs et af mine gamle indlæg:

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=288238

Alle aksiomatiseringer forudsætter et logisk fundament som udgør det formelle deduktive system i hvilket slutninger kan drages udfra præmisser og som formaliserer hvilke slutninger der er tilladelige. Det består af et sæt aksiomer og et sæt slutningsregler i kraft af hvilke man kan drage tilladelige slutninger. Det deduktive system, i hvilket Gödel’s sætninger er formuleret, hedder prædikatlogik. Prædikatlogikkens aksiomer er universelt gældende, alle propositioner som er universelt gældende kan vises i prædikatlogikken og en slutningsregel kan aldrig føre fra en sand præmis til en falsk konklusion. Det er i dette system Gödel’s sætninger udledes.

Prædikatlogik snakkede jeg engang kort med Sabrina om i følgende gamle tråd:

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=175346

Og i forlængelse af Sheafs første link - Gödel gjorde selv opmærksom på, at hans sætninger ikke var et problem for matematikken af netop de grunde, som Sheaf nævner. Man skal huske, at den historisk kom som en reaktion på Hilberts formalistiske tanker, og nok var den dødsstødet for den naive formalisme, men ingenlunde for matematik som videnskab, og heller ikke for formalismen som idé, da Hilbert selv accepterede de udvidelser af formalismen, som Gödel og Gentzen plæderede for.

Efter Gödel begyndte man at tale om uafgørlige sætninger indenfor den naturlige matematik, dvs. sætninger der dukkede op i anerkendte matematiske discipliner (og som kunne forklares for lægmand), og som derfor ikke var konstruerede eksempler. Eksempler kom fra Paris, Harrington, Kirby og Goodstein indenfor hhv. kombinatorik (Ramsey-teori) og talteori (Goodstein-følger).

Det er vældig interessant stof. Hvis det er noget, du vil vide mere om, så kunne du tage et kig på Raymond Smullyans forsøg på at gøre det mere tilgængeligt i bøgerne "Diagonalization and Self-Reference" og "Gödel's Incompleteness Theorems".
Alternativt kan du finde mit speciale, når du er startet i Århus :-)

I forlængelse af Allans referencer nævnes at Smullyan har skrevet gådebøger som på forførende måde introducerer disse emner for lægmand i form af riddere og kæltringe, sandruelige og sindssyge vampyrer og kodelåsmysteriet i Monte Carlo :-)

Det er bøger som "What is the name of this book", "The lady or the tiger", "Forever undecided", "To mock a mocking bird".