Basis for nulrummet??

hvis vi snakker om dimentioner så er det antallet af vektorer som udspænder et plan,
hvis vi fx siger man har en 4x4 matrix hvor tre af søjlerne er linært uafhængige mens den sidste er linær afhængig, så siger man at de tre uafhængige søjler udspænder en 3 dimentional underrum i R^4

Uha, lad os se om jeg kan huske den lineære algebra...

Efter gauss-elimination bør din matrix se ud som følgende:

[1 0 10 0 9]
[0 1 -5 0 -4]
[0 0 0 1 0]

Det vil sige, at kun x1, x2 og x4 er ledende variable. Vi kan derfor definere x3 = alpha og x5 = beta. Vi har nu følgende:

x1 = -10*alpha - 9*beta
x2 = 5*alpha + 4*beta
x3 = alpha
x4 = 0
x5 = beta

Det giver os nu følgende:

vektor(x) = (x1,x2,x3,x4,x5) = alpha*(-10,5,1,0,0) + beta*(-9,4,0,0,1)

Nulrummet udspændes derfor af de to vektorer (-10,5,1,0,0) og (-9,4,0,0,1).

Dimensionen af nulrummet kaldes også for nulliteten og kan beregnes på flere måder:

En m x n-matrix, som har et rækkerum af dimension r, har en nullitet på n-r.

I dit tilfælde har du allerede udregnet vektorerne som udspænder nulrummet. Nulrummets dimension er så simpelthen antallet af vektorer...

Det betyder som du korrekt skriver skal finde løsningerne til ligningen Ax = 0. Læsningerne kan skrives på formen x = t1*v1+t2*v3+ ..., hvor v1, v2, ... er lineært uafhængige vektorer. Dimensionen af nulrummet er så antal vektorer v1, v2, .. du er nød til at bruge for at få samtlige løsninger med. For at finde disse vektorer er du nød til at have en metode til at løse ligningerne på. I sådan et tilfælde foretrækker jeg selv ortogonalmetoden; men den er lidt for kompliceret til at jeg kan beskrive den her.
Hvis du får løsningen x4 = 0 er du allerede et stykke på vej. En ligning som x5 = x5 kan du godt udelade. den er altid opfyldt og kan derfor ikke fortælle dig noget nyt.
Prøv ellers med Gauss elimination. Hvis du et eller andet sted under vejs for at en variabel kan være hvadsomhelst. Ignorer du bare og går videre. Når du har fået matricen på diagonalform og skal finde gå tilbage for at finde de endelige løsning, er det så bare en parameter du sætter ind.
Det er vist desværre ikke særlig klart; men forummet sætter nogle begrænsninger for hvad jeg kan gøre.
Står der ikke noget i dit undervisningsmaterile, hvordan man skal løse den slags problemer ?.

Jamen kan det godt passe at det KUN er x5 der er en basis for nulrummet for A. Da jeg ganger x5 med matricen A, og får resultatet (0,0,0,0,0).

#4
Nej. Læs #2.

Desuden er det forkert, at hvis du ganger din matrix med x5, så får du (0,0,0,0,0). x5 er jo et tal, så hvis du ganger den med din matrix, skal du bare gange x5 ind i alle indgange i matricen...

Nej det er ikke korrekt. Eftersom som den oplyste afbildningsmatrix for den lineære afbildning f:R^5 -> R^4 har rang 3 har nulrummet rang 5-3 = 2, og udspændes derfor af 2 lineært uafhængige vektorer i R^5. Desuden angiver du jo med x5 blot een komponent af en vilkårlig vektor, så det giver ikke mening at den skulle være basis.

Angående regningerne i de øvrige indlæg er jeg uening i resultatet. Nulrummet udspændes af vektorerne

v1 = (-7,3,0,0,1)

v2 = (-10,5,1,0,0)

En lille regnebøg må have indsneget sig i #2 eftersom A*(-9,4,0,0,1)^T ikke er (0,0,0,0).

Argh

eftersom som -> eftersom

bøg -> bøf

#7
Ja, jeg må have indtastet den forkert i Maple. Nu får jeg følgende efter Gauss-elimination:

[1 0 10 0 7]
[0 1 -5 0 -3]
[0 0 0 1 0]

Nå, men så kan #0 prøve at fortsætte selv herfra...

Okay tak for hjælpen alle sammen. Nu er jeg med.

jeg får det til følgende:

- nulrummet udspændes af vektorerne :
v3=(-10,5,1,0,0) og v5=(-7,3,0,0,1)
- Nulrummets dimension er så 2.

- basis for søjlerummet er følgende vektorere:
v1=(1,2,3,4) , v2=(2,4,6,7) og v4=(1,-3,2,0)
-søjlerummets dimension er så 3.

men TAK for hjælpen.