Egenværdierne??

Det er værdien lambda, for hvilke matrixligningen A*x=lambda*x, lambda kaldes egenværdien, den karakteristiske værdi eller den latente rod i ligningen. Jeg kan godt komme med et eksempel, men du ha måske forstået det?

jeg skulle have skrevet, at det er en værdi af lambda, for hvilket der er en løsning.

Nej du må godt komme med et eksempel.

OK, her: Ladf os forestille os to masser ophængt i et fjedersystem, altså et mekanisk system uden dæmpning. Dem kan man udtrykke ved følgende ligningssystem:
(dy_1/dx)''=-5*y_1+2*y_2
(dy_2/dx)''=2*y_-2*y_2, det er altså et system af to 2. ordens differentialligninger. Den kan vi skrive som en enkelt vektorligning:
y''=A*y, hvor...ja nu kan jeg ikke skrive søjlevektoren og matricen, men den kan du tænke dig til.
Skal vi løse ligningssystemet (eller matrixligningen) substituerer vi y=x*exp(w*t), som sættes ind:
w^2*x*exp(wt)=A*x*exp(wt) eller på den facon, du efterspurgte: A*x=lambda*x.
Skal vi nu have en løsnbing forskellig fra 0-løsningen, må vi kræve, at w^2=lambda, det er en egenværdi, karakteristisk rod o.s.v. og x den korresponderende egenvektor.

#0
På samme måde som for enhver anden n x n-matrix: Find rødderne i det karakteristiske polynomie.

Til bestemmelse af egenværdierne for en lineær afbildning af et vektorrum V over et legeme K ind i sig selv løses matrixligningen

Ax = kx (*)

hvor A er afbildningsmatricen og k et element i K. Legement K kunne f.eks. være R eller C. Ligning (*) er ensbetydende med

(A-kI)x = 0 (**)

hvor I er enhedsmatricen med samme rang som A. Det homogene ligningssystem (**) har egentlige løsninger hviss determinanten det(A-Ik) = 0. Determinanten kaldes reduktionsdeterminanten og udregnet er den netop det karakteristiske polynomie.

Eks: Givet afbildningsmatricen

( 1 2 )
( 3 0 )

er reduktionsdeterminanten

|1-k 2 |
| 3 -k |

=

k²-k-6

som er det karakteristiske polynomie. Dets rødder er 3 og -2 som derfor er egenværdierne for afbildningen.