Matematik
Kontinuitet og konvergens
11. oktober 2007 af
tumle (Slettet)
Hej,
Nu er efterårsferien startet for mig, så jeg er godt i gang med at læse alt igennem vi har læst i denne blok hvor jeg prøver at få en bedre og dybere forståelse af alle sætningerne osv. Men her er jeg lige løbet ind i et lille forståelsesproblem eller hvad man kan kalde det.
Sætning:
Antag at f er kontinuerlig i a, og at {x_n} er en følge af punkter fra Df som konvergere mod a. Da konvergerer følgen {f(x_n)} mod f(a). Dette kan også udtrykkes som: f er kontinuerlig i a hvis og bare hvis:
lim x_n->infinity f(x_n)=f(a)
Normalt ville jeg mene at det var mere logisk at sige at f(x)->f(a) for x->a, men jeg bliver lidt i tvivl om det egentlig er det samme der står i denne sætning eller om det er noget helt andet.
Er der nogle der kan give mig en lille forklaring på hvad denne sætning egentlig siger?
Mange venlige hilsner
Rasmus
Nu er efterårsferien startet for mig, så jeg er godt i gang med at læse alt igennem vi har læst i denne blok hvor jeg prøver at få en bedre og dybere forståelse af alle sætningerne osv. Men her er jeg lige løbet ind i et lille forståelsesproblem eller hvad man kan kalde det.
Sætning:
Antag at f er kontinuerlig i a, og at {x_n} er en følge af punkter fra Df som konvergere mod a. Da konvergerer følgen {f(x_n)} mod f(a). Dette kan også udtrykkes som: f er kontinuerlig i a hvis og bare hvis:
lim x_n->infinity f(x_n)=f(a)
Normalt ville jeg mene at det var mere logisk at sige at f(x)->f(a) for x->a, men jeg bliver lidt i tvivl om det egentlig er det samme der står i denne sætning eller om det er noget helt andet.
Er der nogle der kan give mig en lille forklaring på hvad denne sætning egentlig siger?
Mange venlige hilsner
Rasmus
Svar #1
12. oktober 2007 af sheaf (Slettet)
Skrivemåden lim[x->a]f(x) = c for reelle funktioner dækker over den sædvanlige epsilon-delta remse: for ethvert reelt e>0 findes et reelt d>0 sådan at for alle x, der opfylder 0c for x->a.
Kontinuitetsudsagenet f(x)->f(a) for x->a dækker derfor over kontinuitet i sædvanlig e-d forstand.
I det fleste tilfælde er denne definition på kontinuitet ækvivalent med definitionen hvilende på konvergente følger. Mere præcist er de ækvivalente for alle første-tællelige topologiske rum, d.v.s. topologiske rum, der opfylder første tællelighedsaksiom. Herunder hører alle metriske rum, og dermed specielt de reelle tal (med sædvanlig topologi).
Kontinuitetsudsagenet f(x)->f(a) for x->a dækker derfor over kontinuitet i sædvanlig e-d forstand.
I det fleste tilfælde er denne definition på kontinuitet ækvivalent med definitionen hvilende på konvergente følger. Mere præcist er de ækvivalente for alle første-tællelige topologiske rum, d.v.s. topologiske rum, der opfylder første tællelighedsaksiom. Herunder hører alle metriske rum, og dermed specielt de reelle tal (med sædvanlig topologi).
Svar #2
12. oktober 2007 af lottefar (Slettet)
Mangler der ikke noget i det theorem om hvordan den konvergerer? Der er jo f.eks. forskel på uniform konvergens og punktvis.
Svar #3
12. oktober 2007 af sheaf (Slettet)
Sætningen i #0 er falsk såfremt kontinuiteten forlanges uniform. En afbildning, der sender konvergente Cauchyfølger over i konvergente Cauchyfølger er ikke nødvendigvis uniformt kontinuert. Tag blot en kontinuert, men ikke uniformt kontinuert, afbildning f:X->Y mellem metriske rum, hvor X er et fuldstændigt metrisk rum. Så er enhver Cauchyfølge i X konvergernt og qua kontinuitet sender f konvergente Cauchyfølger over i konvergente Cauchyfølger i Y. Men f er ikke uniformt kontinuert.
Skriv et svar til: Kontinuitet og konvergens
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.