sansynlighedsregning

De fleste problemer indenfor sandsynlighedsregning kan reduceres til et spørgsmål om, hvor mange udfald ud af alle tænkelige udfald, der er gunstige. Derfor vil man ofte ved rent slavearbejde kunne nedskrive samtlige muligheder og tælle sig frem til, hvor sandsynlig dette eller hint er. Lad mig demonstrere med et par eksempler af stigende sværhedsgrad.

Eksempel 1 - helt grundlæggende

Spørgsmål: Hvis man slår med en ærlig terning, hvad er så sandsynligheden for at slå 1? ("ærlig" betyder, at der f.eks. ikke er en skjult magnet indeni, terningen på et metalbord vil lande ens for det meste, men derimod er alle 6 sider lige sandsynlige)

Svar: Der er 6 mulige udfald. Der er 1 gunstigt udfald. Derfor er sandsynligheden 1:6.


Eksempel 2 - let

Spørgsmål: Hvad er sandsynligheden for enten at slå 1 eller 5 med terningen.

Svar: Stadig 6 mulige udfald. Men nu 2 gunstige. Sandsynligheden er 2:6.


Eksempel 3 - middel

Spørgsmål: Hvad er sandsynligheden for ikke at slå 6?

Svar: Der er 6 mulige udfald. 1 er ikke gunstigt, men de resterende 5 er. Sandsynligheden er 5:6.


Eksempel 4 - svær

Spørgsmål: Hvad er sandsynligheden for først at slå 1 og derpå 5?

Svar: Nu er antallet af mulige udfald ændret - og her vil jeg demonstrere min pointe! Man skrive slet og ret alle de mulige udfald ned og tæller antallet af gunstige udfald.

Mulige udfald:
1 først, så 1
1 først, så 2
1 først, så 3
1 først, så 4
1 først, så 5 <--- Gunstigt udfald
1 først, så 6
2 først, så 1
2 først, så 2
2 først, så 3
2 først, så 4
2 først, så 5
2 først, så 6
3 først, så 1
3 først, så 2
3 først, så 3
3 først, så 4
3 først, så 5
3 først, så 6
4 først, så 1
4 først, så 2
4 først, så 3
4 først, så 4
4 først, så 5
4 først, så 6
5 først, så 1
5 først, så 2
5 først, så 3
5 først, så 4
5 først, så 5
5 først, så 6
6 først, så 1
6 først, så 2
6 først, så 3
6 først, så 4
6 først, så 5
6 først, så 6

Der var kun ét gunstigt udfald ud af 36, hvis man tæller efter. Sandsynligheden er altså 1:36.


Eksempel 5 - svær

Spørgsmål: Hvad er sandsynligheden for at et slag med to ærlige terninger har summen 7?

Svar: Se på mulige hhv. gunstige udfald...

Mulige udfald:
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6 <--- gunstigt
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5 <--- gunstigt
2,6
3,1
3,2
3,3
3,4 <--- gunstigt
3,5
3,6
4,1
4,2
4,3 <--- gunstigt
4,4
4,5
4,6
5,1
5,2 <--- gunstigt
5,3
5,4
5,5
5,6
6,1 <--- gunstigt
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6

Tæller man, er der 6 ud af 36 slag, der er gunstige. Det giver sandsynligheden 6:36 dvs. 1:6.


Eksempel 6 - overraskende

Spørgsmål: Hvad er sandsynliheden for at mindst én terning viser 6, når man slår med 2 terninger?

Svar: Lad os se konkret på udfaldene.

Mulige udfald:
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6 <--- gunstigt
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6 <--- gunstigt
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6 <--- gunstigt
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6 <--- gunstigt
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6 <--- gunstigt
6,1 <--- gunstigt
6,2 <--- gunstigt
6,3 <--- gunstigt
6,4 <--- gunstigt
6,5 <--- gunstigt
6,6 <--- gunstigt

Når man tæller efter, er der 11 ud af 36 slag, hvor 6'ere indgår. Dvs. sandsynligheden er 11:36, hvilket er mindre end 2:6. Man ville måske have gættet at sandsynligheden for at slå en 6'er fordobles, når man går fra kun at have én terning til at have to. Men så ville man jo kunne opnå 100% sandsynlighed for at slå en 6'er, hvis man havde 6 terninger. Men det er jo oplagt forkert, da man godt kan slå slag uden 6'ere med 6 terninger.