Entydighed

og hvordan beviser jeg at C er kommutativt?

wz=zw for alle w,z tilhører C.. de komplekse tal

Antag, at x løser ligningen. Nu analyseres problemstillingen:

Da a ikke er 0, eksisterer dets reciprokke element,a^(-1), da R er et legeme.

Så må der gælde, at

(a*x)*a^(-1) = b*a^(-1)

Men ved hjælp af såvel den associative lov og den kommutative lov, kan a på venstresiden flyttes:

(a*x)*a^(-1) = a*(x*a^(-1)) = a*(a^(-1)*x) = (a*a^(-1))*x = 1*x = x

Næstsidste lighedstegn kommer af definitionen på reciprok, og sidste kommer pga. definitionen af et-element. Hvis man bruger dette i den øverste ligning, jeg skrev, har man faktisk vist, at x er éntydigt bestemt.



Ad #1
Du skal vise, at (a,b)*(c,d) = (c,d)*(a,b). Det skal altså i begge tilfælde giver:

(a*c - b*d, a*d + b*c)

Men dette følger af de kommutative love for "+" og "*" i R, da tallene a,b,c og d alle tilhører R.

Tak.
Lad r tilhører L, hvor L er et legeme. Vis at (-1)r=-r. Hvordan gøres det strengent?

Ved at vise, at både x=-r og x=(-1)r løser ligningen:

r + x = 0

Det følger af definitionen, at -r gør det. Man viser, at (-1)r løser ligningen ved at bruge følgende omskrivninger:

r + (-1)*r = 1*r + (-1)*r
= r*1 + r*(-1)
= r*(1 + (-1))
= r*0
= 0

Her er brugt definitionen af et et-element, både den multiplikativt kommutative og siden distributive lov, definitionen af additiv invers/modsat element, og til sidst en lille sætning, der siger, at r*0 = 0. Tingene er brugt i den nævnte rækkefølge...

Konklusion:
Da både -r og (-1)*r løser ligningen r + x = 0, og da en sådan løsning, jvf. endnu en sætning, er éntydig, så må der gælde, at (-1)*r = -r.

Jeg går ud fra, at I allerede har bevist de to sætninger, jeg refererer til, men ellers må du jo i krig igen :)

Ja, det har jeg :) Det løser begge ligningen x+r=0, ergo er de éntydige..