Matematik
Matematikprojekt
http://peecee.dk/?id=78631
Spørgsmålet lyder da:
"I et dæksel, som er indlagt i et koordinatsystem som vist på figuren, skal der fræses et spor, som geometrisk kan deles i to cirkelbuer og to rette linjer, som er tangenter til cirkelbuerne A,B,C,D. Radius i den store cirkel er R=60mm, og radius i den lille cirkel r=30mm. Alle de øvrige mål er angivet i mm.
Find koordinaterne til punkterne A,B,C,D!"
Min lærerinde sagde noget med 4 ligninger med 4 ubekendte, men jeg ved faktisk ikke hvorledes jeg bør gribe denne opgave an.
Jeg håber inderligt på nogle hints, en fremgangsmetode eller en anden form for hjælp!
På forhånd tak!
Svar #1
14. november 2007 af strangers
Er der ingen til nogle hints og metode(r)
:)
På forhånd tusind tak
Svar #2
15. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)
Et punkt på den store findes nu som C1 + R*v og tilsvarende findes et punkt på den lille cirkel som C2 + r*v, hvor v=(v1,v2) er en vektor med længden 1.
Da f.eks. den øverste lige linje, der forbinder cirklerne, er tangent til begge cirkler, må de radier, der går ud til A og C være parallelle med hinanden og vinkelrette på linjestykke AC. Da radierne er parallelle, må man kunne udregne A og C ud fra et passende v:
A = C1 + R*v
C = C2 + r*v
Hvor det er det samme v, der bruges til at finde begge punkter. Altså skal v bestemmes.
Nu skal man udnytte informationen, at AC skal stå vinkelret på f.eks. den radius, der hedder C1A. For at udnytte dette, ser jeg på prikproduktet, så der skal gælde:
(A-C1)*(C-A) = 0
De indgående vektorer udregnes nu til:
A-C1 = R*v = 60v = (60v1,60v2)
og
C-A = C2-C1 + (r-R)*v = (100,0) - 30v = (100-30v1,-30v2)
Hvorefter prikprodukterne kan beregnes til:
(A-C1)*(C-A) = 60v1*(100-30v1) + 60v2*(-30v2)
= 6000v1 - 1800(v1^2+v2^2)
= 6000v1 - 1800
,hvor sidste lighedstegn følger af, at v er en enhedsvektor, hvorfor dens koordinater ifølge Pythagoras kvadreret og lagt sammen giver 1.
Det smarte er nu, at vi allerede kan bestemme størrelsen af v1:
(A-C1)*(C-A) = 0
=>
6000v1 - 1800 = 0
<=>
v1 = 1800/6000 = 3/10
Igen benytter vi nu Pythagoras - denne gang for at finde v2:
v1^2 + v2^2 = 1
=>
v2 = + el. - sqrt(1 - v1^2) = + el. - sqrt(91/100)
Nu kan A og C findes ud fra løsningen, hvor v2 = +sqrt(91/100), mens de to andre punkter kan findes ud fra den anden løsning.
Svar #3
15. november 2007 af strangers
Jeg håber ikke at jeg belemrer dig for meget, men:
1) vi har ikke lært om vektorer, og derfor ved jeg ikke hvad prikproduktet er.
2)punkterne v1,v2; hvor erde henne på tegningen?
Du skal bare have tusind tusind tak, og jeg håber at høre fra dig igen hr!!
Svar #4
15. november 2007 af strangers
"v2 = + el. - sqrt(1 - v1^2) = + el. - sqrt(91/100) "
Hvad menes der med denne sætning?
Hvordan kan A findes herfra?
Endnu engang:
Tusind tusind tak:)
Svar #5
15. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)
Hvis du tegner firkanten C1,C2,A,C, kan man bemærke, at den har en ret vinkel ved punkt A og punkt C. Det har man, fordi linjen mellem A og C er tangent til begge cirkler.
Tegn nu en linje fra C2, der er parallel med linjen fra A til C. Denne linje "rammer" et punkt, P, midt mellem C1 og A. Nu er P,A,C,C2 et rektangel, og C1,P,C2 er en retvinklet trekant.
Hvis man kigger godt efter, kender vi to af siderne i den retvinklede trekant C1,P,C2. Man kan nemlig se, at afstanden |C1P| må være R-r, altså 30. Og vi kender også længden af hypotenusen, nemlig |C1C2|, som er 100.
Pythagoras giver nu, at 30^2 + |PC2|^2 = 100^2, hvorfor |PC2| = sqrt(9100). (Dette tal modsvarer ganske godt tallet v2 = sqrt(91/100) i min gamle udregningsmetode)
Lad os nu sige, at man tegner en lodret linje fra A ned til den vandrette linje gennem cirklernes centre, og kalder punktet, hvor de skærer, for Q. Nu er trekant C1,A,Q ensvinklet med trekant C1,P,C2. Derfor er det blot at finde størrelsesforholdet mellem de to trekanter, så kan du udregne, hvor langt ud ad x-aksen, og hvor langt op ad y-aksen, man skal, hvis man starter i C1 og gerne vil ende i A.
Da punktet C ligger i samme retning set fra C2, som punktet A ligger set fra C1, kan man igen vha. ensvinklede trekanter finde punktet C.
Til slut finder man de sidste to punkter ved at gå ned ad y-aksen i stedet for op ift. C1 og C2.
Hvis det er for forvirrende læsning, må du lige skrive - ved godt, det kan være svært at følge sådan en geometrisk redegørelse uden tilhørende tegning! Ellers må jeg tegne det til dig :)
Svar #6
16. november 2007 af strangers
Jeg har dog endnu nogle spørgsmål:
Du sagde:
"Derfor er det blot at finde størrelsesforholdet mellem de to trekanter, så kan du udregne, hvor langt ud ad x-aksen, og hvor langt op ad y-aksen, man skal, hvis man starter i C1 og gerne vil ende i A"
Jeg får størrelsesforholdene til noget imellem:
a/c2 = c1/c1 = q/p
det giver et interval imellem 0,59;0,62
men i princippet, er det du egentlig siger ikke bare, at når jeg kender siderne for trekanten AC1Q så kender jeg jo også A's x-koordinat?
Linjestykket C1Q får jeg til 18,86 mm, da:
tan(17,45)*60= C1Q --> C1Q=18,86
Ville A's x punkt da give : 80+18,86=98,86 ?
Linjestykket QA får jeg til 56,95 pga brug af pythagoras.
Giver A's y punkt så : 80+56,95 = 136,95 mm?
Er det forstået korrekt hr?
Til de andre punkter; hvad gør jeg der? Det samme? Du sagde:
"Til slut finder man de sidste to punkter ved at gå ned ad y-aksen i stedet for op ift. C1 og C2.
"
Hvad menes der her?
Jeg er dig virkelig virkelig taknemmelig for din tid!!
Svar #7
16. november 2007 af strangers
"
Dvs. jeg laver en ny trekant ved, at trække en streg fra punktet C til den vandrette streg der skærer centrumerne? Denne ville da være ensvinklet med PC1C2 og vi kører samme metode (vi kender jo en af siderne, r, og alle vinklerne da de er ensvinklede)?
Punktet B:
det er vel bare at lave en ny firkant: C1BDC2, lave et rektangel, med punktet P1: C2DP1B og derefter fås den retvinklede trekant: C2C1P1, der naturligvis er ens med PC1C2. Så trækker jeg en lodret streg fra B til linjen der skærer de to centre, og har nu en til ensvinklet trekant med det nye punkt Q1:): C1C2Q1
Så er det samme nummer?
Er dette korrekt antaget?
Svar #8
16. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)
Der må være tale om en regnefejl, når du får forholdet mellem trekanterne til at give et sted mellem 0,59;0,62. Hypotenusen i den største, dvs. den side du kalder p, har længden 100. Hypotenusen i den mindste, dvs. den side du kalder Q, har længden 60. Derfor er størrelsesforholdet mellem trekanterne klokkerent k = 60/100 = 0,6.
Desuden er siden Q den eneste side i den lille trekant, som du kender længden af. Derfor er det oplagt at bruge størrelsesforholdet til at beregne de sidste.
I stedet for at regne med vinkler og lave afrundingsfejl undervejs, kan du bruge størrelsesforholdet. Forresten bruger du tangens forkert i din udregning, da du ganger tan(17,45) med længden af trekantens hypotenuse. Tangens har nemlig ikke spor at gøre med hypotenuser i trekanter, men kun med kateter! Derfor gælder der, at tan(17,45760312)*c1 = a, da a og c1 er kateter i den lille trekant. Men du kender hverken længden af a eller c1, så dette er ikke til megen hjælp...
Siden, du kalder a, kan udregnes ved at sige a = k*c2 = 0,6*30 = 18. (Dette er tæt på dit 18,86, men skal ikke forveksles). Derfor bliver A's x-koordinat: 80+18 = 98.
Siden, du kalder c1 i den lille trekant, kan udregnes ved tilsvarende at sige c1 = 0,6*sqrt(9100) = 6*sqrt(91) som cirka giver 57,24.Derfor bliver A's y-koordinat cirka: 80+57,24 = 137,24.
Altså A er cirka (98;137,24) eller helt præcist: A = (98;80+6*sqrt(91))
Angående punktet B, så mener jeg, at det kan udregnes til at være:
B = (98;80-6*sqrt(91), hvilket cirka giver (98;22,76)
Din forklaring af, hvordan man finder C, så helt fin ud - blot du husker at bruge størrelsesforhold som jeg har gjort her, og ikke begynder at regne på vinkler igen... Med samme trick, som jeg brugte til at finde B ud fra A, kan man ud fra C finde D!
Svar #9
18. november 2007 af strangers
Dernæst kan ligningerne, der udgører det der skal fræses, jo bare plottes ind i ligningen y-y0 = a(x0-x), og vupti:)
Du skal bare have tusind tak
Svar #10
02. december 2007 af oO-diaz-Oo (Slettet)
Svar #11
02. december 2007 af oO-diaz-Oo (Slettet)
Svar #12
02. december 2007 af tal-pædagog (Slettet)
a = C1P = 30
b = PC2 = skal beregnes
c = C1C2 = 100
og derfor kan man ikke bare skrive:
b^2 = c^2 + a^2 = 10900
men skal derimod først isolere b i Pythagoras, som jo siger:
a^2 + b^2 = c^2
<=>
b^2 = c^2 - a^2 = 9100
hvoraf, det ses, at |C1P|^2 bliver trukket fra - ikke lagt til - hvilket netop gør forskellen.
Svar #13
02. december 2007 af oO-diaz-Oo (Slettet)
Svar #14
16. november 2010 af Criss (Slettet)
Hej, jeg sidder med et problem til at løse en lignende opgave, men jeg ved ikke hvad "el." står for i:
"v2 = + el. - sqrt(1 - v1^2) = + el. - sqrt(91/100) "
Svar #15
16. november 2010 af Andersen11 (Slettet)
#14
Det betyder "eller", som i "plus eller minus" , altså
v2 = ±√(1-v12) = ±√(91/100)
Skriv et svar til: Matematikprojekt
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.