Matematik
Sandsynlighedsfelt
22. november 2007 af
math-freak++ (Slettet)
Personerne A,B og C skyder på hinanden, således:
Sandsynligheden for at A rammer er 1/3..
Sandsynligheden for at B rammer er 2/3.
Sandsynligheden for at C rammer er 1.
De skyder i rækkefølgen A, B og C.
Vis, at Sandsynligheden for at A vinder truellen er 25/64, hvis B affyrer første skud.
Sandsynligheden for at A rammer er 1/3..
Sandsynligheden for at B rammer er 2/3.
Sandsynligheden for at C rammer er 1.
De skyder i rækkefølgen A, B og C.
Vis, at Sandsynligheden for at A vinder truellen er 25/64, hvis B affyrer første skud.
Svar #2
23. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)
Der er to måder, hvorpå A kan vinde:
1. B rammer ikke nogen, hvorpå C rammer B, hvorpå A rammer C
2. B rammer C, hvorpå A og B dyster, men hvor A har den fordel at starte
Den første måde er ret overkommelig at beregne ss for:
P(B rammer ikke)*P(C skyder på B)*P(A rammer C) = (1/3)*½*(1/3) = 1/18
Den anden måde er noget mere kringlet! Ideen er i hvert fald:
P(B skyder på C)*P(B rammer C)*P(A vinder duel med B, hvor A starter)
= ½*(2/3)*P(A vinder duel med B, hvor A starter)
Det er muligt, at det følgende går under betegnelsen Bayes formel - det aner jeg ikke, men P(A vinder duel med B, hvor A starter) har jeg udregnet som en uendelig sum, idet:
ss for at A vinder en duel med B, hvor A starter, når A affyrer sit n'te skud kan formelt udledes til at være:
[P(A rammer ikke)*P(B rammer ikke)]^(n-1)*P(A rammer) = (2/9)^(n-1)*(1/3)
Nu summes dette for n fra 1 til uendeligt, hvorved man vha. den geometriske række med (2/9)^n opnår:
P(A vinder duel med B, hvor A starter) = 9/21
Opsummering:
Tilfælde 1 giver ss 1/18
Tilfælde 2 giver ss ½*(2/3)*(9/21) = 1/7
I alt 1/18 + 1/7 = (7+18)/(7*18) = 25/126
Hmm... Det var jo ikke det, du sagde, det skulle give - fortæl mig, hvor fejlen er :) det var mit bedste bud!
1. B rammer ikke nogen, hvorpå C rammer B, hvorpå A rammer C
2. B rammer C, hvorpå A og B dyster, men hvor A har den fordel at starte
Den første måde er ret overkommelig at beregne ss for:
P(B rammer ikke)*P(C skyder på B)*P(A rammer C) = (1/3)*½*(1/3) = 1/18
Den anden måde er noget mere kringlet! Ideen er i hvert fald:
P(B skyder på C)*P(B rammer C)*P(A vinder duel med B, hvor A starter)
= ½*(2/3)*P(A vinder duel med B, hvor A starter)
Det er muligt, at det følgende går under betegnelsen Bayes formel - det aner jeg ikke, men P(A vinder duel med B, hvor A starter) har jeg udregnet som en uendelig sum, idet:
ss for at A vinder en duel med B, hvor A starter, når A affyrer sit n'te skud kan formelt udledes til at være:
[P(A rammer ikke)*P(B rammer ikke)]^(n-1)*P(A rammer) = (2/9)^(n-1)*(1/3)
Nu summes dette for n fra 1 til uendeligt, hvorved man vha. den geometriske række med (2/9)^n opnår:
P(A vinder duel med B, hvor A starter) = 9/21
Opsummering:
Tilfælde 1 giver ss 1/18
Tilfælde 2 giver ss ½*(2/3)*(9/21) = 1/7
I alt 1/18 + 1/7 = (7+18)/(7*18) = 25/126
Hmm... Det var jo ikke det, du sagde, det skulle give - fortæl mig, hvor fejlen er :) det var mit bedste bud!
Svar #3
23. november 2007 af sheaf (Slettet)
Som sædvanligt er det gået over stok og sten, men jeg får nu heller ikke det oplyste resultat:
P(A vinder truellen | B skyder først) =
P(A vinder truellen | B rammer C)P(B rammer C) + P(A vinder truellen | B skyder forbi C)P(B skyder forbi C) =
2/3*P(A vinder duel med B | A skyder først) + 1/3*P(A vinder truellen | C skyder først) =
2/3*P(A vinder duel med B | A skyder først) + 1/3*P(A vinder duel med C | A skyder først)
fordi C først vil skyde B, som er den største trussel, og derefter ender i duel med A, med A for tur.
Sandsynligheden, p, for at A vinder duellen med B når A skyder først findes enten som summen af en potensrække, eller mere elegant ved indse at A's sejr kommer i hus på følgende måde: enten rammer A i sit første skude, eller også skyder A forbi, B forbi og situationen er som før. Altså
p = 1/3 + 2/3*1/3*p <=> p = 3/7
Sandsynligheden for at A vinder en duel med C når A skyder først er 1/3 eftersom C skyder A hvis A fejler sit første skud.
Derfor får jeg:
P(A vinder truellen | B skyder først) = = 2/3*3/7 + 1/3*1/3 = 75/189
Tæt på 25/64 = 75/192, men noget er åbenbart blevet overset.
P(A vinder truellen | B skyder først) =
P(A vinder truellen | B rammer C)P(B rammer C) + P(A vinder truellen | B skyder forbi C)P(B skyder forbi C) =
2/3*P(A vinder duel med B | A skyder først) + 1/3*P(A vinder truellen | C skyder først) =
2/3*P(A vinder duel med B | A skyder først) + 1/3*P(A vinder duel med C | A skyder først)
fordi C først vil skyde B, som er den største trussel, og derefter ender i duel med A, med A for tur.
Sandsynligheden, p, for at A vinder duellen med B når A skyder først findes enten som summen af en potensrække, eller mere elegant ved indse at A's sejr kommer i hus på følgende måde: enten rammer A i sit første skude, eller også skyder A forbi, B forbi og situationen er som før. Altså
p = 1/3 + 2/3*1/3*p <=> p = 3/7
Sandsynligheden for at A vinder en duel med C når A skyder først er 1/3 eftersom C skyder A hvis A fejler sit første skud.
Derfor får jeg:
P(A vinder truellen | B skyder først) = = 2/3*3/7 + 1/3*1/3 = 75/189
Tæt på 25/64 = 75/192, men noget er åbenbart blevet overset.
Skriv et svar til: Sandsynlighedsfelt
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.