stamfunktioner og kont.

Ja.

det er ikke noget som man kan bevise.. det er bare nok at sige det??

Det kan sagtens bevises. Man formulerer normalt resultatet på en lidt anden måde - nemlig at enhver kontinuert funktion er integrabel.

Jeg så selv beviset på gymnasiet, men det er vist ikke alle bøger, der har det med, for det er ikke helt simpelt.
Nedenfor følger en skitse, så du kan se, hvad det drejer sig om. Hvis du synes det er svært at følge med, så gør det ikke noget - det er ikke et bevis, du vil forventes at kunne.

Givet kontinuert f defineret på det lukkede interval [a,b] er f specielt en begrænset funktion. Begrænsede funktioner er integrable hvis og kun hvis, man for ethvert epsilon>0 kan finde en inddeling P af [a,b], så

U(P',f)-L(P',f)
for alle inddelinger P' finere end P - her er U oversummen og L er undersummen (dem har du nok hørt om). Inddelingerne kan f.eks. være på formen

(*) P=(a+(b-a)/n,a+(b-a)/n,...,b),

svarende til at intervallet er inddelt i lige store "bidder", og det at en tilsvarende inddeling er finere end P betyder blot at den har et større n. Det er nok den form, du har set inddelinger på.

Givet dette kan man bruge f's kontinuitet på [a,b] til at indse, at f er uniformt kontinuert på intervallet. Det er en egenskab, som er lidt bedre end kontinuitet. Hvis f er kontinuert i a, betyder det jo at for alle epsilon>0 findes delta>0 sådan at

|x-a|
medfører

|f(x)-f(a)|
Bemærk, at delta generelt afhænger af a. Men fordi [a,b] er et lukket interval, kan man givet epsilon finde et delta, der virker for alle punkter i intervallet - og det er det, man kalder uniform kontinuitet. Dvs. vi kan finde delta så |x-y|
|f(x)-f(y)|

for ethvert epsilon>0. Vi kan nu lave en inddeling af [a,b] på formen (*) med 1/n
M_j(f)-m_j(f)

med

M_j(f)=max(f(x): x i [a+(j-1)*(b-a)/n;a+j*(b-a)/n]

m_j(f)=min(f(x): x i [a+(j-1)*(b-a)/n;a+j*(b-a)/n]

for j=1,...,n. Det kan vi slutte pga. uniform kontinuitet, eftersom længden af intervalbidderne er mindre end delta.

Se nu på differensen mellem over- og undersummer og brug ovenstående uligheder. Så vil du se, at f er integrabel, eller mere præcist, at differensen mellem over- og undersum er mindre end epsilon, som jo var vilkårlig. Specielt eksisterer stamfunktionen

F(x)-F(a)=int_a^x f(x) dx,

idet [a,x] er et lukket interval.

ok tak!

Tror det må vente til en anden eksamen end lige i morgen..! ;p