Matematik
Differentialligninger
07. juni 2004 af
Muffe (Slettet)
Nogen der kan hjælpe mig med et bevis for at differentialligningen
y'= b-ay
har den fuldstændige løsning
y= b/a + c*exp(-ax) ???!!!
y'= b-ay
har den fuldstændige løsning
y= b/a + c*exp(-ax) ???!!!
Svar #1
07. juni 2004 af QaZZaQ
Først omskriver du det til
Y'= Ay+b, her er A altså -a.
Dvs f'(x)= A*f(x)+b
Du definerer herefter en funktion,
g(x)=A*f(x)+b
Differentierer du denne får du
g'(x)=A*f'(x) <=> f'(x)= (1/A)*g'(x).
Her har du altså f'(x) udtrykt, hvilket du også har fra tidligere, hvor
f'(x)= A*f(x)+b = (1/A)*g'(x).
Tidliere definierede vi g(x) som f'(x), dvs.
g'(x)= A*g(x).
Fra sætning to kender du løsningen til sådan en diff.ligning.
Herfra får du at g(x)= c1*e^(Ax)
Dette er så også lig g(x)= A*f(x)+b
Dvs.
c1*e^(Ax)=A*f(x)+b <=>
A*f(x)=c1*e^(Ax)-b <=>
f(x)= -b/A + (c1/b)^(Ax)
Nu indsætter du så -a istedet for A, og får
f(x)= b/a +c^(-ax)
Det blev lidt rodet, men håber det hjælper.
Y'= Ay+b, her er A altså -a.
Dvs f'(x)= A*f(x)+b
Du definerer herefter en funktion,
g(x)=A*f(x)+b
Differentierer du denne får du
g'(x)=A*f'(x) <=> f'(x)= (1/A)*g'(x).
Her har du altså f'(x) udtrykt, hvilket du også har fra tidligere, hvor
f'(x)= A*f(x)+b = (1/A)*g'(x).
Tidliere definierede vi g(x) som f'(x), dvs.
g'(x)= A*g(x).
Fra sætning to kender du løsningen til sådan en diff.ligning.
Herfra får du at g(x)= c1*e^(Ax)
Dette er så også lig g(x)= A*f(x)+b
Dvs.
c1*e^(Ax)=A*f(x)+b <=>
A*f(x)=c1*e^(Ax)-b <=>
f(x)= -b/A + (c1/b)^(Ax)
Nu indsætter du så -a istedet for A, og får
f(x)= b/a +c^(-ax)
Det blev lidt rodet, men håber det hjælper.
Skriv et svar til: Differentialligninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.