Sandsynlighedsopgaver

Du får næppe svar, dine link er totalt blanke i hvert fald på min computer, men den er også snart en oldsag.

"07a.pdf":

opg. 1.3) Vi har Cov(X,Y) = E[(X-mu_X)*(Y-mu_Y)], hvor mu_X = E(X) og mu_Y = E(Y). Så er Cov(X,X-Y) = E[(X-mu_X)*(X-Y-mu_{X-Y})]. For at beregne dette, kan vi starte med at beregne (X-mu_X)*(X-Y-mu_{X-Y}):

(X-mu_X)*(X-Y-mu_{X-Y}) = X*(X-Y) - X*mu_{X-Y} - mu_X*(X-Y) + mu_X*mu_{X-Y} = X*X - X*Y - X*[E(X)-E(Y)] - E(X)*X + E(X)*Y + E(X)*E(X-Y).

X og Y har samme sandsynlighedsfunktion, så E(X) = E(Y) = 0. Udtrykket reduceres således til

(X-mu_X)*(X-Y-mu_{X-Y}) = X*X - X*Y.

Tager du forventningen af dette, får du

Cov(X,X-Y) = E(X*X) - E(X*Y).

Da X og Y er uafhængige, er E(X*Y) = E(X)*E(Y), men da E(X) = 0, er E(X*Y) = 0. Således har vi Cov(X,X-Y) = E(X*X) = Var(X) (da E(X)=0).

For variansen gælder, at Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) = Var(X) + E(Y*Y) - [E(Y)]^2 = Var(X) + E(Y*Y) = 2*Var(X) [da E(Y*Y) = E(X*X) = Var(X)].

opg. 1.4) Beregn E(|X+1|) på samme måde som du ville beregne E(X): anvend definitionen E(X) = Sum{alle x} x*P(X=x). I dette tilfælde har vi E(|X+1|) = Sum{alle x} |x+1|*P(X=x).

For at beregne E(|X+1|*|Y+1|), udregn så først |X+1|*|Y+1|, tag forventningen af det og anvend definitionen.

"07b.pdf":

opg. 1.5) Lav lignende beregninger som ovenfor.

opg. 1.6) Anvend definitionen: E(g(X,Y)) = Sum{alle x} g(x,y)*P(X=x,Y=y). Her må du så først finde P(X=x,Y=y); da X og Y er uafhængige, er P(X=x,Y=y) = P(X=x)*P(Y=y).

opg. 2.3) Her har jeg p.t. ikke noget hint til dig, andet end at betegnelsen U indikerer, at det kunne være en idé at kigge efter "uniform distribution" i din bog.

wow

#2 Tusind tak Sigmund! :)

hvad betyder "mu"?

#5:
I #2 har sigmund jo skrevet hvad det er, nemlig ``mu_X = E(X) og mu_Y = E(Y)''.

#5,

Det græske bogstav, der udtales 'my', skrives 'mu'.