Matematik
Ekstremumsted og monotoniforhold
04. januar 2008 af
Malfoy (Slettet)
Hej,
Er der nogle venlige sjæle der vil give mig hints til, hvordan jeg kan løse denne matematikopgave:
Om en bestemt løsning til differentialligningen
((dy)/(dx))=(x+1)(y-1), x?R og y>1
oplyses, at grafen forløber i området Rx]1;8[.
a) Bestem ekstremumssted og monotoniforhold for denne løsning til differentialligningen.
På forhånd mange tak,
Malfoy
Er der nogle venlige sjæle der vil give mig hints til, hvordan jeg kan løse denne matematikopgave:
Om en bestemt løsning til differentialligningen
((dy)/(dx))=(x+1)(y-1), x?R og y>1
oplyses, at grafen forløber i området Rx]1;8[.
a) Bestem ekstremumssted og monotoniforhold for denne løsning til differentialligningen.
På forhånd mange tak,
Malfoy
Svar #1
04. januar 2008 af tal-pædagog (Slettet)
Det er en separabel diff.lign. så int 1/(y-1) dy = int (x+1) dx + k, hvor c er en vilkårlig konstant, som man senere bestemmer.
Fra ovenstående fås: ln(y-1) = ½x²+x+k
Som med en ny konstant c=e^k resulterer i udtrykket:
y = 1+c*e^(½x²+x)
Dette er noget hø! Da denne funktion er opadtil ubegrænset, så jeg tror, du har skrevet forkert i opgaveformueringen! Der burde stå:
y' = (x+1)(1-y)
Der som løsning har funktioner på formen
y = 1+c*e^(-½x²-x)
Nu skal c derpå bestemmes, så denne funktion har maksimum y=8. Funktionen har maksimum i x=-1, da dette er toppunkt for polynomiet -½x²-x. Funktionsværdien dette sted er 1+c*e^½ som ønskes lig 8. Nå, jeg vil slutte her foreløbig, men spørg bare, hvis du stadig sidder fast.
Fra ovenstående fås: ln(y-1) = ½x²+x+k
Som med en ny konstant c=e^k resulterer i udtrykket:
y = 1+c*e^(½x²+x)
Dette er noget hø! Da denne funktion er opadtil ubegrænset, så jeg tror, du har skrevet forkert i opgaveformueringen! Der burde stå:
y' = (x+1)(1-y)
Der som løsning har funktioner på formen
y = 1+c*e^(-½x²-x)
Nu skal c derpå bestemmes, så denne funktion har maksimum y=8. Funktionen har maksimum i x=-1, da dette er toppunkt for polynomiet -½x²-x. Funktionsværdien dette sted er 1+c*e^½ som ønskes lig 8. Nå, jeg vil slutte her foreløbig, men spørg bare, hvis du stadig sidder fast.
Skriv et svar til: Ekstremumsted og monotoniforhold
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.